2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第八章 立体几何 8.3 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.3 直线、平面垂直的判定与性质 直线、平面垂直的判定与性质 考情考向分析 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线垂直、 线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较 强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想 1直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 a 与平面 内的任意一条直线都垂直,则直线 a 与平面 互相垂直,记作 a,直 线 a 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面垂线和平面的交点即为垂足 (2)判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判 定 定 理 如果一条直线与一个
2、平面内的两条相交直 线垂直,那么这条直线 垂直于这个平面 Error!l 性 质 定 理 如果两条直线垂直于 同一个平面,那么这两 条直线平行 Error!ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角若一 条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成 的角是 0的角 (2)范围:. 0, 2 3平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角:一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端
3、点,在两个面内分别作垂直于棱的射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 (2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判 定 定 理 如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线,那么这 两个平面互相垂直 Error! 性 质 定 理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于另 一个平面 Error!l 概念方法微思考 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗? 提示 垂直若两平行线中的一条
4、垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与 该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条 直线成 90的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面 2两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面吗? 提示 垂直在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线,则这两条直线都垂直 于第三个平面,那么这两条直线互相平行由线面平行的性质定理可知,这两个相交平面的 交线与这两条垂线平行,所以该交线垂直于第三个平面 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则
5、 l.( ) (2)直线 a,b,则 ab.( ) (3)若 ,a,则 a.( ) (4)若直线 a平面 ,直线 b,则直线 a 与 b 垂直( ) (5)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线,则 .( ) 题组二 教材改编 2P43 练习 T2下列命题中正确的是_(填序号) 如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 ; 如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ; 如果平面 平面 ,平面 平面 ,l,那么 l平面 ; 如果平面 平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 . 答案 解析 对于,若平面 平面 ,则平面 内的直线可能不垂直于平面 ,即与平
6、面 的关 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 系还可以是斜交、平行或在平面 内,其他命题均是正确的 3P45T11在三棱锥 PABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PAPBPC,则点 O 是ABC 的_心; (2)若 PAPB,PBPC,PCPA,则点 O 是ABC 的_心 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图 1,连结 OA,OB,OC,OP, 在 RtPOA,RtPOB 和 RtPOC 中,PAPCPB, 所以 OAOBOC,即 O 为ABC 的外心 (2)如图 2,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于点 H,D,G. PCPA,P
7、BPC,PAPBP,PA,PB平面 PAB, PC平面 PAB,又 AB平面 PAB,PCAB, ABPO,POPCP,PO,PC平面 PGC, AB平面 PGC,又 CG平面 PGC, ABCG,即 CG 为ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD,AH 分别为ABC 边 AC,BC 上的高, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 O 为ABC 的垂心 题组三 易错自纠 4若 l,m 为两条不同的直线, 为平面,且 l,则“m”是“ml”的_条 件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 解析 由 l 且 m 能推出 ml,充分性成立; 若
8、l 且 ml,则 m 或者 m,必要性不成立, 因此“m”是“ml”的充分不必要条件 5.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 O,M,N 分别是线段 BD,DD1,D1C1的中 点,则直线 OM 与 AC,MN 的位置关系是_ 答案 垂直 解析 因为 DD1平面 ABCD, 所以 ACDD1, 又因为 ACBD,DD1BDD, 所以 AC平面 BDD1B1, 因为 OM平面 BDD1B1,所以 OMAC. 设正方体的棱长为 2, 则 OM,MN,123112 ON,145 所以 OM2MN2ON2,所以 OMMN. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6 如图, AB
9、是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上不同于 A, B 的任一点, 则图中直角三角形的个数为_ 答案 4 解析 因为 AB 是圆 O 的直径, 所以 ACBC, ACB 是直角三角形 ; 由 PA平面 ABC 可得, PAAB, PAAC, 所以PAB与PAC是直角三角形 ; 因为PA平面ABC, 且BC平面ABC, 所以 PABC.又 BCAC, PAACA, 所以 BC平面 PAC.而 PC平面 PAC, 所以 BCPC, PCB 是直角三角形故直角三角形的个数为 4. 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中
10、, ABACAA13, BC2, D 是 BC 的中点, F 是 CC1上一点当 CF2 时,证明:B1F平面 ADF. 证明 因为 ABAC,D 是 BC 的中点,所以 ADBC. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, 因为 BB1底面 ABC,AD底面 ABC, 所以 ADB1B. 因为 BCB1BB,BC,B1B平面 B1BCC1, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 AD平面 B1BCC1. 因为 B1F平面 B1BCC1, 所以 ADB1F. 方法一 在矩形 B1BCC1中, 因为 C1FCD1,B1C1CF2, 所以 RtDCFRtFC1B1, 所以CFDC1B1F,
11、所以B1FD90, 所以 B1FFD. 因为 ADFDD,AD,FD平面 ADF, 所以 B1F平面 ADF. 方法二 在 RtB1BD 中,BDCD1,BB13, 所以 B1D.BD2BB2 110 在 RtB1C1F 中,B1C12,C1F1, 所以 B1F.B1C2 1C1F25 在 RtDCF 中,CF2,CD1, 所以 DF.CD2CF25 显然 DF2B1F2B1D2, 所以B1FD90. 所以 B1FFD. 因为 ADFDD,AD,FD平面 ADF, 所以 B1F平面 ADF. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明线面垂直
12、的常用方法:判定定理;垂直于平面的传递性;面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直,则需借助线面垂直的性质 跟踪训练 1 如图, 在三棱锥 ABCD 中, ABAD, BCBD, 平面 ABD平面 BCD, 点 E, F(E 与 A,D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EFAD. 求证:(1)EF平面 ABC; (2)ADAC. 证明 (1)在平面 ABD 内,因为 ABAD,EFAD, 则 ABEF. 又因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC, 所以 EF平面 ABC. (2)因为平面 ABD平面 BCD, 平面 ABD平面 BCDBD,BC平面 BCD,
13、BCBD, 所以 BC平面 ABD. 因为 AD平面 ABD,所以 BCAD. 又 ABAD,BCABB,AB平面 ABC, BC平面 ABC, 所以 AD平面 ABC. 又因为 AC平面 ABC,所以 ADAC. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 如图, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, AP平面 PCD, E, F 分别为 PC, AB 的中点 (1)求证:平面 PAD平面 ABCD; (2)求证:EF平面 PAD. 证明 (1)因为 AP平面 PCD,CD平面 PCD,所以 APCD. 又四边形 ABCD 为矩形,
14、所以 ADCD, 又因为 APADA,AP平面 PAD,AD平面 PAD, 所以 CD平面 PAD. 又因为 CD平面 ABCD, 所以平面 PAD平面 ABCD. (2)连结 AC,BD 交于点 O,连结 OE,OF. 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 O 为 AC 的中点 因为 E 为 PC 的中点,所以 OEPA. 因为 OE平面 PAD,PA平面 PAD, 所以 OE平面 PAD. 同理可证 OF平面 PAD. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 OEOFO,OB,OF平面 OEF, 所以平面 OEF平面 PAD. 因为 EF平面 OEF,所以 EF平面 PAD. 思
15、维升华 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义; 面面垂直的判定定理(a,a) (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线,转化为线 面垂直,然后进一步转化为线线垂直 跟踪训练 2 (2018南京、盐城模拟)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCAC,D,E 分别 是 AB,AC 的中点 (1)求证:B1C1平面 A1DE; (2)求证:平面 A1DE平面 ACC1A1. 证明 (1)因为 D,E 分别是 AB,AC 的中点, 所以 DEBC. 又因为在三棱柱 ABCA1B1C1中,B1C1BC, 所以 B1C1DE. 又 B1C1平面 A1DE,DE平面
16、 A1DE, 所以 B1C1平面 A1DE. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中,CC1底面 ABC, 又 DE底面 ABC,所以 CC1DE. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 BCAC,DEBC,所以 DEAC. 又 CC1,AC平面 ACC1A1, 且 CC1ACC, 所以 DE平面 ACC1A1, 又因为 DE平面 A1DE, 所以平面 A1DE平面 ACC1A1. 题型三 垂直关系中的探索性问题 例 3 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,D,E 分别是棱 BC,AB 的中点,点 F 在棱 CC1上, 已知 ABAC,AA13,BCCF2. (1)求证:C1E平
17、面 ADF; (2)设点 M 在棱 BB1上,当 BM 为何值时,平面 CAM平面 ADF. (1)证明 连结 CE 交 AD 于 O,连结 OF. 因为 CE,AD 为ABC 的中线, 则 O 为ABC 的重心,故 ,故 OFC1E, CF CC1 CO CE 2 3 因为 OF平面 ADF,C1E平面 ADF, 所以 C1E平面 ADF. (2)解 当 BM1 时,平面 CAM平面 ADF. 证明如下:因为 ABAC,AD平面 ABC, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 ADBC.在直三棱柱 ABCA1B1C1中, BB1平面 ABC,BB1平面 B1BCC1, 故平面 B1
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