2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第六章 数列 6.3 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.3 等比数列及其前 等比数列及其前 n 项和项和 考情考向分析 以考查等比数列的通项、 前 n 项和及性质为主, 等比数列的证明也是考查的 热点本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考 查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查 1等比数列的有关概念 (1)定义 : 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不 为零),那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示, 定义的表达式为q(nN*,q 为非零常数) an1 an (2)等比中项:如果
2、 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即 G 是 a 与 b 的 等比中项a,G,b 成等比数列G2ab. 2等比数列的有关公式 (1)通项公式:ana1qn1. (2)前 n 项和公式: SnError!Error!. 3等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:anamqnm(n,mN*) (2)若 mnpq2k(m,n,p,q,kN*),则 amanapaqa . 2 k (3)若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则an,a ,anbn,(0)仍然是 1 an 2 n an bn 等比数列 (4)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an
3、,ank,an2k,an 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3k,为等比数列,公比为 qk. 概念方法微思考 1将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗?若是,这两个等比数列 的公比有何关系? 提示 仍然是一个等比数列,这两个数列的公比互为倒数 2任意两个实数都有等比中项吗? 提示 不是只有同号的两个非零实数才有等比中项 3“b2ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件? 提示 必要不充分条件因为 b2ac 时不一定有 a,b,c 成等比数列,比如 a0,b0,c1. 但 a,b,c 成等比数列一定有 b2ac. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中
4、打“”或“”) (1)满足 an1qan(nN*,q 为常数)的数列an为等比数列( ) (2)如果数列an为等比数列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比数列( ) (3)如果数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列( ) (4)数列an的通项公式是 anan,则其前 n 项和为 Sn.( ) a1an 1a (5)数列an为等比数列,则 S4,S8S4,S12S8成等比数列( ) 题组二 教材改编 2P54T3已知an是等比数列,a22,a5 ,则公比 q_. 1 4 答案 1 2 解析 由题意知 q3 ,q . a5 a2 1 8 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
5、印 3 P54T9公比不为 1 的等比数列an满足 a5a6a4a718, 若 a1am9, 则 m 的值为_ 答案 10 解析 由题意得 2a5a618,a5a69, 又 a1am9,a1ama5a6,m10. 题组三 易错自纠 4若 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则的值为_ a1a2 b2 答案 1 2 解析 1,a1,a2,4 成等差数列, 3(a2a1)41,a2a11. 又1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设其公比为 q, 则 b 144,且 b21q20,b22, 2 2 . a1a2 b2 a2a1 b2 1 2 5设 Sn为等比数列a
6、n的前 n 项和,8a2a50,则_. S5 S2 答案 11 解析 设等比数列an的公比为 q, 8a2a50,8a1qa1q40. q380,q2, S5 S2 a11q5 1q 1q a11q2 11. 1q5 1q2 125 14 6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB,然后每 3 秒自身复制一次,复制 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 后所占内存是原来的 2 倍,那么开机_秒,该病毒占据内存 8 GB.(1 GB210 MB) 答案 39 解析 由题意可知, 病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an, 且a12, q2, an 2n, 则 2n8210
7、213,n13. 即病毒共复制了 13 次 所需时间为 13339(秒) 题型一 等比数列基本量的运算 1已知等比数列an满足 a1 ,a3a54(a41),则 a2_. 1 4 答案 1 2 解析 设等比数列an的公比为 q, 由题意知 a3a54(a41)a , 2 4 则 a 4a440,解得 a42, 2 4 又 a1 ,所以 q38, 1 4 a4 a1 即 q2,所以 a2a1q . 1 2 2(2018全国)等比数列an中,a11,a54a3. (1)求an的通项公式; (2)记 Sn为an的前 n 项和,若 Sm63,求 m. 解 (1)设an的公比为 q,由题设得 anqn1
8、. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知得 q44q2,解得 q0(舍去),q2 或 q2. 故 an(2)n1或 an2n1(nN*) (2)若 an(2)n1,则 Sn. 12n 3 由 Sm63,得(2)m188,此方程没有正整数解 若 an2n1,则 Sn2n1. 由 Sm63,得 2m64,解得 m6. 综上,m6. 思维升华 (1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1,an,q,n,Sn,已知其中 三个就能求另外两个(简称“知三求二”) (2)运用等比数列的前 n 项和公式时,注意对 q1 和 q1 的分类讨论 题型二 等比数列的判定与证明 例 1
9、已知数列an满足对任意的正整数 n,均有 an15an23n,且 a18. (1)证明:数列an3n为等比数列,并求数列an的通项公式; (2)记 bn,求数列bn的前 n 项和 Tn. an 3n 解 (1)因为 an15an23n, 所以 an13n15an23n3n15(an3n), 又 a18,所以 a1350, 所以数列an3n是首项为 5、公比为 5 的等比数列 所以 an3n5n,所以 an3n5n(nN*) (2)由(1)知,bn1 n, an 3n 3n5n 3n ( 5 3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则数列bn的前 n 项和 Tn1 1121nn n (
10、 5 3) ( 5 3) ( 5 3) 5 31( 5 3) n 15 3 5n1 23n 5 2 (nN*) 思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法: (1)定义法:若q(q 是非零常数),则数列an是等比数列; an1 an (2)等比中项法:若 aanan2(nN*,an0),则数列an是等比数列; 2n1 (3)通项公式法:若 anAqn(A,q 为非零常数),则数列an是等比数列 跟踪训练 1 设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a11,Sn14an2. (1)设 bnan12an,证明:数列bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 a11 及 Sn14a
11、n2, 有 a1a2S24a12. a25,b1a22a13. 又Error!Error! ,得 an14an4an1(n2), an12an2(an2an1)(n2) bnan12an,bn2bn1(n2), 故bn是首项 b13,公比为 2 的等比数列 (2)解 由(1)知 bnan12an32n1, , an1 2n1 an 2n 3 4 故是首项为 ,公差为 的等差数列 an 2n 1 2 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (n1) , an 2n 1 2 3 4 3n1 4 故 an(3n1)2n2(nN*) 题型三 等比数列的综合应用 例 2 (2018扬州模拟)
12、已知各项都是正数的数列an的前 n 项和为 Sn, 且 2Sna an, 数列bn 2 n 满足 b1 ,2bn1bn. 1 2 bn an (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设数列cn满足 cn,求 c1c2cn的和 bn2 Sn 解 (1)由题意知 2Sna an, 2 n 2Sn1aan1, 2n1 得 2an1aa an1an, 2n12 n 即(an1an)(an1an1)0. 因为an是正数数列, 所以 an1an10,即 an1an1, 所以an是公差为 1 的等差数列 在 2Sna an中,令 n1,得 a11, 2 n 所以 ann. 由 2bn1bn,得 , bn
13、an bn1 n1 1 2 bn n 所以数列是等比数列,其中首项为 ,公比为 , bn n 1 2 1 2 所以 n,即 bn . bn n ( 1 2) n 2n (2)由(1)知 Sn, a 1an n 2 n2n 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 cn, bn2 Sn n2 n 2n2n1 1 n2n 1 n12n1 所以 c1c2cn . 1 2 1 n12n1 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类: (1)通项公式的变形 (2)等比中项的变形 (3)前 n 项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突
14、破口 跟踪训练 2 (1)已知数列an是等比数列,若 a21,a5 ,则 a1a2a2a3anan1(nN*) 1 8 的最小值为_ 答案 2 解析 由已知得数列an的公比满足 q3 , a5 a2 1 8 解得 q ,a12,a3 , 1 2 1 2 故数列anan1是以 2 为首项,公比为 的等比数列, a2a3 a1a2 1 4 a1a2a2a3anan1 21(1 4) n 11 4 . 8 31( 1 4) n 2, 8 3) (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 ,则_.(n2,且 nN*) S3 S6 8 9 an1 anan1 答案 1 2 高清试卷 下载可打印 高
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