2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第六章 数列 6.4 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.4 数列的递推关系与通项 数列的递推关系与通项 考情考向分析 由数列的递推关系求通项是高考的热点, 考查学生的转化能力和综合应用能 力,一般以解答题形式出现,中档难度 1递推数列 (1)概念:数列的连续若干项满足的等量关系 ankf (ank1,ank2,an)称为数列的递 推关系由递推关系及 k 个初始值确定的数列叫递推数列 (2)求递推数列通项公式的常用方法:构造法、累加(乘)法、归纳猜想法 2数列递推关系的几种常见类型 (1)形如 anan1f(n)(nN*,且 n2) 方法:累加法,即当 nN*,n2 时,an(anan1)(an1an2
2、)(a2a1)a1. (2)形如f(n)(nN*且 n2) an an1 方法:累乘法,即当 nN*,n2 时,ana1. an an1 an1 an2 a2 a1 注意:n1 不一定满足上述形式,所以需要检验 (3)形如 anpan1q(nN*且 n2) 方法 : 化为 anp的形式令 bnan,即得 bnpbn1,bn为等比 q p1 (a n1 q p1) q p1 数列,从而求得数列an的通项公式 (4)形如 anpan1f(n)(nN*且 n2) 方法 : 两边同除 pn,得,令 bn,得 bnbn1,转化为利用累加法求 bn an pn an1 pn1 fn pn an pn fn
3、 pn 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ,从而求得数列an的通项公式 (若 fn pn 为常数,则bn为等差数列) 概念方法微思考 用构造法求数列通项一般构造什么样的数列?这体现了何种数学思想方法? 提示 构造等差或等比数列,体现了转化与化归思想 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在数列an中,a11,anan1(n2),则 an .( ) n1 n 1 n (2)在数列an中,a12,an1an3n2,则 an n2 .( ) 3 2 n 2 (3)已知在数列an中,a11,前 n 项和 Snan,则 an.( ) n2 3 nn1 2 (
4、4)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 log2(Sn1)n1,则 an2n.( ) 题组二 教材改编 2P52 公式推导过程在数列an中,已知 a11,那么 an_. an1 an n n1 答案 1 n 3P41T13若数列an满足 a11,annan1(n2,nN*),则数列an的通项公式为 _ 答案 annn1 2 4P68T14在数列an中,a11,an1,则 an_. an 1nan 答案 2 n2n2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 an1可化为n, an 1nan 1 an1 1 an 当 n2 时,1,2,3, 1 a2 1 a1 1 a3 1 a2
5、 1 a4 1 a3 n1. 1 an 1 an1 累加得12(n1), 1 an 1 a1 , 1 an nn1 2 1 a1 n2n2 2 又 a11 也符合上式, an. 2 n2n2 题组三 易错自纠 5在斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,中,an,an1,an2的关系是_ 答案 an2anan1 6已知数列an满足 a11,an13an2,则 an_. 答案 23n11 解析 因为 an13an2, 所以 an113(an1), 所以3, an11 an1 所以数列an1为等比数列, 公比 q3, 又 a112,所以 an123n1, 所以 an23n11. 高清试卷 下载
6、可打印 高清试卷 下载可打印 题型一 累加法、累乘法求数列的通项公式 1已知在数列中,a10,an1an2n1,求 an.an 解 由已知得 anan12n3, 当 n2 时,an(anan1) (an1an2)(a2a1)a1(2n3)(2n5)10 (n1)2. 当 n1 时,a10 符合上式,所以 an(n1)2,nN*. 2数列满足 a1 ,anan1(n2,nN*),求数列的通项an 1 2 1 n2n an 解 由 anan1(n2,nN*)且 a1 , 1 n2n 1 2 anan1 1 n2n 1 n1 1 n an1an2, 1 n2 1 n1 , a2a11 , 1 2 各
7、式累加整理得 an ,n 取 1 时, 1 a1, 3 2 1 n 3 2 1 2 所以 an (nN*) 3 2 1 n 3已知在数列中,a12,且 nan1(n2)an,求 an.an 解 由已知得,当 n2 时,ana1 2n(n1), an1 an n2 n an an1 an1 an2 a2 a1 n1 n1 n n2 3 1 当 n1 时,a12 也符合上式,所以 ann(n1)(nN*) 思维升华 (1)求形如 an1anf(n)数列的通项公式,此类题型一般可以利用累加法求其通项 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 公式,即 an(anan1)(an1an2)(a2a1)
8、a1,累加求得通项公式; (2)求形如f(n)数列的通项,此类题型一般可以利用累乘法求其通项公式,即 an an1 an an an1 a1,累乘求得其通项 an1 an2 a2 a1 题型二 构造等差数列求通项 例 1 (1)已知在正项数列an中,Sn表示前 n 项和且 2an1,则 an_.Sn 答案 2n1 解析 方法一 由已知 2an1,得当 n1 时,a11;Sn 当 n2 时,anSnSn1,代入已知得 2SnSn11,即 Sn1(1)2.SnSn 又 an0,故 1 或 1(舍),Sn1SnSn1Sn 即1(n2),SnSn1 由定义得是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,Sn
9、 n.故 an2n1.Sn 方法二 2an1,4Sn(an1)2,Sn 当 n2 时,4Sn1(an11)2, 两式相减,得 4an(an1)2(an11)2, 化简可得(anan1)(anan12)0, an0,anan12, 2a11,a11.a1 数列an是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, an2n1. (2)已知在数列中,a12,an12an32n,则 an_.an 答案 2n,nN* ( 3 2n 1 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 在递推关系 an12an32n的两边同除以 2n1,得 , an1 2n1 an 2n 3 2 令 bn1,则 bn1bn
10、 ,b11, an1 2n1 3 2 所以bn是以 1 为首项, 为公差的等差数列 3 2 所以 bn1 (n1) n , 3 2 3 2 1 2 故 an2n,nN*. ( 3 2n 1 2) 思维升华 (1)形如 an1panqbn的递推关系可构造等差数列 (2)对于含 an,Sn混合型的递推关系,可通过 anError!消去 an或 Sn. 跟踪训练 1 (1)在数列an中,已知 a11,an1,则 an_. 2an an2 答案 ,nN* 2 n1 解析 由已知可知 an0, ,即 , 1 an1 1 an 1 2 1 an1 1 an 1 2 又1, 1 a1 是以 1 为首项, 为
11、公差的等差数列,(n1) ,an,nN*. 1 an 1 2 1 an 1 a1 1 2 n1 2 2 n1 (2)已知在数列中,a1 ,且当 n2 时,有 an1an4anan10,则 an_.an 1 5 答案 (nN*) 1 4n1 解析 由题意知 an0, 将等式 an1an4anan10 两边同除以 anan1得4, n2, 1 an 1 an1 则数列为等差数列,且首项为5,公差 d4, 1 an 1 a1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故(n1)d54(n1)4n1, 1 an 1 a1 an(nN*) 1 4n1 题型三 构造等比数列求通项公式 例 2 (1)已知
12、数列an满足 a12,an12an2,求数列an的通项公式 解 an12an2, an122(an2), 又 a124, an2是以 4 为首项,2 为公比的等比数列, an242n1,an2n12(nN*) (2)已知数列an中, a11, anan1 n, 记 T2n为an的前 2n 项的和, bna2na2n1, nN*, ( 1 2) 求数列bn的通项公式 解 anan1 n,an1an2n1, ( 1 2) ( 1 2) ,即 an2 an. an2 an 1 2 1 2 bna2na2n1, , bn1 bn a2n2a2n1 a2na2n1 1 2a 2n1 2a 2n1 a2n
13、a2n1 1 2 a11,a1a2 ,a2 ,b1a1a2 . 1 2 1 2 3 2 bn是首项为 ,公比为 的等比数列 3 2 1 2 bn n1 (nN*) 3 2 ( 1 2) 3 2n 思维升华 形如 anpan1q(pq0)型的递推关系,可构造等比数列求通项公式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 跟踪训练 2 (1)已知数列满足 an an12,a11,求数列的通项公式an 1 3 an 解 设 an (an1),解得 3,则 an3 (an13),令 bnan3, 1 3 1 3 则数列是以 b1a132 为首项, 为公比的等比数列, 所以 bn, 所以 an3bn 1
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