2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.1 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考试内容等级要求 加法原理与乘法原理B 排列与组合B 二项式定理B 离散型随机变量及其分布列A 超几何分布A 条件概率及相互独立事件A n 次独立重复试验的模型及二项分布B 离散型随机变量的均值与方差B 11.1 分类计数原理与分步计数原理 分类计数原理与分步计数原理 考情考向分析 以理解和应用两个基本原理为主,常以实际问题为载体,加强分类讨论思 想,注重分析问题、解决问题能力的考查,常与排列、组合知识交汇;两个计数原理在高考 中单独命题较少,一般是与排列组合结合进行考查;两个计数原理的考查一般以解答题的形 式出现,难度为中档 高清试卷 下载可打印
2、高清试卷 下载可打印 1分类计数原理 如果完成一件事, 有 n 类方式, 在第 1 类方式中有 m1种不同的方法, 在第 2 类方式中有 m2 种不同的方法, 在第 n 类方式中有 mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 Nm1m2 mn种不同的方法 2分步计数原理 如果完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方法,做第 2 步有 m2种不同 的方法,做第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 Nm1m2mn种 不同的方法 3分类和分步的区别,关键是看事件能否一步完成,事件一步完成了就是分类 ; 必须要连续 若干步才能完成的则是分步分类要用分类计数原理将种数相加
3、;分步要用分步计数原理, 将种数相乘 概念方法微思考 1在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理? 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类计数原理;如果每 类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分,就用分步计数原理 2两种原理解题策略有哪些? 提示 分清要完成的事情是什么; 分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系; 有无特殊条件的限制; 检验是否有重复或遗漏 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
4、打印 (2)在分类计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事( ) (3)在分步计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只 有每个步骤都完成后,这件事情才算完成( ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤, 在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3, n), 那么完成这件事共有 m1m2m3mn种方法( ) (5)在分步计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( ) 题组二 教材改编 2P9T8已知集合 M1,2,3,N4,5,6,7,从 M,N 这两个集合中各选一个元 素分别作为点的横坐标,纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第
5、二象限内不 同的点的个数是_ 答案 6 解析 分两步:第一步先确定横坐标,有 3 种情况,第二步再确定纵坐标,有 2 种情况,因 此第一、二象限内不同点的个数是 326. 3 P29 习题 T9将 3 个不同的小球放入编号分别为 1,2,3,4,5,6 的盒子内, 6 号盒子中至少有 1 个球的放法种数是_ 答案 91 解析 本题应分为 6 号盒子中有 1 个球, 2 个球, 3 个球三类来解答, 可列式为 C (A A )C 1 32 51 5 A C 91(种) 2 31 53 3 题组三 易错自纠 4从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数
6、的个 数为_ 答案 18 解析 分两类情况讨论:第 1 类,奇偶奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 2 种 选择,共有 32212(个)奇数 ; 第 2 类,偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百 位有 1 种选择,共有 3216(个)奇数根据分类计数原理知,共有 12618(个)奇数 5如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数” ,那么在由 1,2,3,4 四个数 字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有_个 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 12 解析 当组成的数字有三个 1,三个 2,三个 3,三个 4 时共有 4 种情况
7、当有三个 1 时: 2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有 9 种,当有三个 2,3,4 时 : 2221,3331,4441, 有 3 种,根据分类计数原理可知,共有 12 种结果 6已知某公园有 4 个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为_ 答案 12 解析 将 4 个门编号为 1,2,3,4,从 1 号门进入后,有 3 种出门的方式,共 3 种走法,从 2,3,4 号 门进入,同样各有 3 种走法,共有 3412(种)不同的走法 7.现用 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种 颜色,
8、则不同的着色方法共有_种 答案 48 解析 需要先给 C 块着色,有 4 种方法 ; 再给 A 块着色,有 3 种方法 ; 再给 B 块着色,有 2 种方法;最后给 D 块着色,有 2 种方法,由分步计数原理知,共有 432248(种)着色 方法 题型一 分类计数原理 1满足 a,b1,0,1,2,且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a,b)的个 数为_ 答案 13 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 方程 ax22xb0 有实数解的情况应分类讨论 当 a0 时, 方程为一元一次方程 2x b0,不论 b 取何值,方程一定有解此时 b 的取值有 4 个,故此时
9、有 4 个有序数对 当 a0 时,需要 44ab0,即 ab1.显然有 3 个有序数对不满足题意,分别为(1,2), (2,1), (2,2) a0 时, (a, b)共有 3412(个)实数对, 故 a0 时满足条件的实数对有 123 9(个),所以答案应为 4913. 2如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为_ 答案 240 解析 若 a22,则百位数字只能选 1,个位数字可选 1 或 0,“凸数”为 120 与 121,共 2 个若 a23,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有
10、23 6(个)若 a24,满足条件的“凸数”有 3412(个),若 a29,满足条件的“凸数” 有 8972(个) 所以所有凸数有 26122030425672240(个) 3 定义 “规范 01 数列” an如下 : an共有 2m 项, 其中 m 项为 0, m 项为 1, 且对任意 k2m, a1, a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4,则不同的“规范 01 数列”共有_个 答案 14 解析 第一位为 0, 最后一位为 1, 中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110; 只有 2 个 1 相邻时,共有 A 个,其中 110100,110
11、010,110001,101100 不符合题意;三个 1 都不在一 2 4 起时有 C 个,共 28414(个) 3 4 思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词,关键元素,关 键位置 (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准 (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两 种方法是不同的方法,不能重复 (3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏 题型二 分步计数原理 例 1 (1)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 寓参加志愿者活动,
12、则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_ 答案 18 解析 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条, 从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条, 所以从 E 点到 G 点的最短路径有 6318(条) (2)有六名同学报名参加三个智力项目, 每项限报一人, 且每人至多参加一项, 则共有_ 种不同的报名方法 答案 120 解析 每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法, 第二个项目有 5 种选法,第三个项目有 4 种选法,根据分步计数原理,可得不同的报名方法 共有 654120(种) 引申探究 1本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“
13、每人恰好参加一项, 每项人数不限” ,则有多少种不同的报名方法? 解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同的报名方法,根据分步计数原 理,可得不同的报名方法共有 36729(种) 2本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每 人参加的项目不限” ,则有多少种不同的报名方法? 解 每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步计数 原理,可得不同的报名方法共有 63216(种) 思维升华 (1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺 序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依
14、存的,只有各个步骤都完成了, 才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成 跟踪训练 1 一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从 P 点处进,Q 点处出,沿图中线路游 览 A,B,C 三个景点及沿途风景,则不同(除交汇点 O 外)的游览线路有_种(用数字 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 作答) 答案 48 解析 根据题意,从点 P 处进入后,参观第一个景点时,有 6 个路口可以选择,从中任选一 个,有 6 种选法;参观完第一个景点,参观第二个景点时,有 4 个路口可以选择,从中任选 一个,有 4 种选法;参观完第二个景点,参观
15、第三个景点时,有 2 个路口可以选择,从中任 取一个,有 2 种选法由分步计数原理知,共有 64248(种)不同的游览线路 题型三 两个计数原理的综合应用 命题点 1 与数字有关的问题 例 2 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的 四位数一共有_个(用数字作答) 答案 1 080 解析 当组成四位数的数字中有一个偶数时,四位数的个数为 C C A 960. 3 51 44 4 当组成四位数的数字中不含偶数时,四位数的个数为 A 120. 4 5 故符合题意的四位数一共有 9601201 080(个) 命题点 2 涂色、种植问题 例
16、 3 如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域涂一 种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为_ 答案 96 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 按区域 1 与 3 是否同色分类: 区域 1 与 3 同色 : 先涂区域 1 与 3 有 4 种方法, 再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A 种方法 3 3 区域 1 与 3 同色时,共有 4A 24(种)方法 3 3 区域 1 与 3 不同色:第一步涂区域 1 与 3 有 A 种方法,第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法, 2 4 第三步涂区域 4 只有 1 种方法,第
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