2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.5 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11.5 二项分布及其应用 二项分布及其应用 考情考向分析 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主,重点考查二项分布概率模型 的应用识别概率模型是解决概率问题的关键在高考中,常以解答题的形式考查,难度为中 档 1条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 对于两个事件 A 和 B,在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率,称为事件 B 发生的条 件下事件 A 的条件概率 (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概率公式,即 P(B|A). PAB PA 2相互独立事件 (1)对于事件 A,B,若 A 的发生与 B 的
2、发生互不影响,则称 A,B 相互独立 (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(AB)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 , 与 B, 与 也都相互独立BAAB (4)若 P(AB)P(A)P(B),则 A,B 相互独立 3二项分布 在 n 次独立重复试验中, 用 X 表示事件 A 发生的次数, 设每次试验中事件 A 发生的概率为 p, 则 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2, n), 此时称随机变量 X 服从二项分布, 记为 XB(n, k n p) 概念方法微思考 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1条件概率中 P(B|A)与 P(A|B)是一回
3、事吗? 提示 不一样,P(B|A)是在 A 发生的条件下 B 发生的概率,P(A|B)是在 B 发生的条件下 A 发 生的概率 2“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同? 提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对 另一事件发生的概率没有影响,两事件相互独立不一定互斥 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率( ) (2)相互独立事件就是互斥事件( ) (3)对于任意两个事件,公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( ) (4)二项分布是一个概率分布, 其公式相当于(ab)n二项展开式的通项
4、公式, 其中 ap, b1 p.( ) 题组二 教材改编 2P58 例 3天气预报,在元旦假期甲地降雨概率是 0.2,乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时 间内两地是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_ 答案 0.38 解析 设甲地降雨为事件 A,乙地降雨为事件 B,则两地恰有一地降雨为 A B,BA P(A B)P(A )P( B)BABA P(A)P( )P( )P(B)BA 0.20.70.80.30.38. 3P63 练习 T1投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 篮投中的概率为 0
5、.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为_ 答案 0.648 解析 该同学通过测试的概率 PC 0.620.40.630.4320.2160.648. 2 3 题组三 易错自纠 4两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为 和 ,两个零件能否被加工成 2 3 3 4 一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为_ 答案 5 12 解析 因为两人加工成一等品的概率分别为 和 , 2 3 3 4 且相互独立,所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P . 2 3 1 4 1 3 3 4 5 12 5从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到
6、的 2 个数之和为偶数” ,事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)_. 答案 1 4 解析 P(A) ,P(AB), C2 3C2 2 C2 5 2 5 C2 2 C2 5 1 10 P(B|A) . PAB PA 1 4 6一射手对同一目标进行 4 次射击,且射击结果之间互不影响已知至少命中一次的概率为 ,则此射手的命中率为_ 80 81 答案 2 3 解析 设此射手未命中目标的概率为 p,则 1p4, 80 81 所以 p ,故 1p . 1 3 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型一 条件概率 例 1 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购
7、买该险种的投保人称为续保人,续保人的本 年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数012345 概率0.300.150.200.200.100.05 (1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 解 (1)设 A 表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费” ,则事件 A 发生当且仅当一年内 出险次数大于 1, 故 P(A)0.20
8、.20.10.050.55. (2)设 B 表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ,则事件 B 发生当且仅当一年 内出险次数大于 3,故 P(B)0.10.050.15. 又 P(AB)P(B), 故 P(B|A). PAB PA PB PA 0.15 0.55 3 11 因此所求概率为. 3 11 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)平 均 保 费 E(A) 0.85a0.3 0.15a 1.25a0.2 1.5a0.2 1.75a0.1 2a0.05 1.23a, 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 1.23a a 思维升华 (1)利用定义
9、,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A),这是通用的求条件概率的 PAB PA 方法 (2)借助古典概型概率公式, 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A), 再在事件 A 发生的条件下求 事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A). nAB nA 跟踪训练 1 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡, 这些灯泡的外形与功率都相同且灯 口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第 1 次取 到的是螺口灯泡的条件下,第 2 次取到的是卡口灯泡的概率为_ 答案 7 9 解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次取到的是螺口灯泡” ,事
10、件 B 为“第 2 次取到的是卡口 灯泡” , 则 P(A),P(AB) , 3 10 3 10 7 9 7 30 则所求概率为 P(B|A) . PAB PA 7 30 3 10 7 9 方法二 第 1 次取到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡,其中有 7 只卡口灯泡,故第 2 次取到卡口 灯泡的概率为 . C1 7 C1 9 7 9 题型二 相互独立事件的概率 例 2 某企业有甲、 乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发 2 3 3 5 新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; 高清试卷 下载可打印 高清
11、试卷 下载可打印 (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获 利润 100 万元,求该企业可获利润的概率分布 解 记 E甲组研发新产品成功, F乙组研发新产品成功, 由题设知 P(E) , P( ) , 2 3 E 1 3 P(F) , 3 5 P( ) ,且事件 E 与 F,E 与 , 与 F, 与 都相互独立F 2 5 FEEF (1)记 H至少有一种新产品研发成功,则 ,HE F 于是 P( )P( )P( ) ,HEF 1 3 2 5 2 15 故所求的概率为 P(H)1P( )1.H 2 15 13 15 (2)设企业可获利润为
12、 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220, 因为 P(X0)P( ) ,E F 1 3 2 5 2 15 P(X100)P( F) ,E 1 3 3 5 3 15 1 5 P(X120)P(E ) ,F 2 3 2 5 4 15 P(X220)P(EF) , 2 3 3 5 6 15 2 5 故所求的概率分布为 X0100120220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 利用相互独立事件的概率乘法公式直
13、接求解; 正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算 跟踪训练 2 为了纪念 2017 在德国波恩举行的联合国气候大会,某社区举办“环保我参与” 有奖问答比赛活动某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问 题已知甲家庭回答正确的概率是 ,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家 3 4 1 12 庭都回答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确互不影响 1 4 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率; (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确的概率 解 (1)记“甲回答正确” 、“乙回答正确” 、“丙回答正确”分别为事件 A,B,C,则 P(A) ,
14、3 4 且有Error!Error! 即Error!Error! 所以 P(B) ,P(C) . 3 8 2 3 (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P( )P( )P( )P( )A B CABC , 1 4 5 8 1 3 5 96 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1P(A B C)B CA CA B , 3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24 所以不少于 2 个家庭回答正确的概率为 P1P0P11. 5 96 7 24 21 32 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型三 独立重复试验与二项分布 命题点 1 根据独立重复试验求概
15、率 例 3 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、 丁四个不同的公园进行支持签名活动. 公园甲乙丙丁 获得签名人数45603015 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题,从 10 个关于长征 的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品 (1)求此活动中各公园幸运之星的人数; (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为,求恰好 2 位幸运之星获得纪念 2 2 品的概率; (3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对, 而另外2个问题答不对, 记小李答对的问题数为X, 求 X 的概率分布
16、解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 103,104,102,101. 45 150 60 150 30 150 15 150 (2)根据题意,乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为 C 4 ,4 4( 2 2) 1 4 所以乙公园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率为 C 22 . 2 4(1 4) ( 3 4) 27 128 (3)由题意,知 X 的所有可能取值为 2,3,4,服从超几何分布,P(X2),P(X3) C2 8C2 2 C 4 10 2 15 , C3 8C1 2 C 4 10 8 15 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 P(X4) . C4 8C
17、0 2 C 4 10 1 3 所以 X 的概率分布为 X234 P 2 15 8 15 1 3 命题点 2 根据独立重复试验求二项分布 例 4 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要 么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分, 没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分) 设每次击鼓出现音 乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立 1 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的概率分布; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? 解 (1)X 可能的取值为
18、 10,20,100,200. 根据题意,得 P(X10)C 12 ,1 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X20)C 21 ,2 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X100)C 30 ,3 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 P(X200)C 03 .0 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 所以 X 的概率分布为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 X1020100200 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3), 则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200) . 1 8 所以“三盘
19、游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)1 31 . ( 1 8) 1 512 511 512 因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是. 511 512 思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时,首先要确定好 n 和 k 的值,再准确 利用公式求概率 (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时,关键是理清事件与事件之间的关系,确定 二项分布的试验次数 n 和变量的概率,求得概率 跟踪训练 3 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况, 交通部门随机选取 100 名家用轿车驾 驶员进行调查,得到其
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