2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十二章 系列4选讲 12.1 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考试内容等级要求 矩阵的概念A 二阶矩阵与平面向量B 常见的平面变换A 变换的复合与矩阵的乘法B 二阶逆矩阵B 二阶矩阵的特征值与特征向量B 二阶矩阵的简单应用B 坐标系的有关概念A 简单图形的极坐标方程B 极坐标方程与直角坐标方程的互化B 参数方程B 直线、圆及椭圆的参数方程B 参数方程与普通方程的互化B 参数方程的简单应用B 不等式的基本性质B 含有绝对值的不等式的求解B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 不等式的证明(比较法、综合法、分析法)B 算术几何平均不等式与柯西不等式A 利用不等式求最大(小)值B 运用数学归纳法证明不等式B
2、12.1 矩阵与变换 矩阵与变换 考情考向分析 矩阵命题出自三个方向:一是变换的复合与矩阵的乘法,通过研究曲线上 任意一点的变换可以得出曲线的变换二是逆变换与逆矩阵,主要由点或曲线的变换用待定 系数法求矩阵或逆矩阵三是特征值与特征向量属于低档题 1乘法规则 (1)行矩阵a11 a12与列矩阵的乘法规则: b11 b21 a11 a12a11b11a12b21 b11 b21 (2)二阶矩阵与列向量的乘法规则: a11 a12 a21 a22 x0 y0 . a11 a12 a21 a22 x0 y0 a11 x0a12 y0 a21 x0a22 y0 (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵
3、,其乘法法则如下: a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 . a11 b11a12 b21 a11 b12a12 b22 a21 b11a22 b21 a21 b12a22 b22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律 即(AB)CA(BC), ABBA, 由 ABAC 不一定能推出 BC. 一般地,两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 2常见的平面变换 (1)恒等变换:如; 1 0 0 1 (2)伸压变换:如; 1 0 0 1 2 (3)反射变换:如; 1 0 0 1
4、 (4)旋转变换:如,其中 为旋转角度; cos sin sin cos (5)投影变换:如,; 1 0 0 0 1 0 1 0 (6)切变变换:如(kR,且 k0) 1 k 0 1 3逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A,B,若有 ABBAE,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵; (2)若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB)1B1A1. 4特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 ,存在一个非零向量 ,使 A,那么 称为 A 的 一个特征值,而 称为 A 的属于特征值 的一个特征向量 5特征多项式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
5、印 设 A是一个二阶矩阵,R,我们把行列式 f()2(ad)adbc, a b c d| a b c d| 称为 A 的特征多项式 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)已知 A,B,C 为二阶矩阵,且 ABAC,若矩阵 A 存在逆矩阵,则 BC.( ) (2).( ) 1 1 2 1( 1 0 2 1 1 0 2 1) 3 1 6 1 (3)若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则(AB)1B1A1.( ) (4)矩阵 A的特征值为 8 和3.( ) 3 6 5 2 题组二 教材改编 2P52 例 3已知矩阵 A,则 A 的逆矩阵 A1_. 2 3 4 5 答
6、案 5 2 3 2 2 1 解析 因为 det(A)25342, 所以 A1. 5 2 3 2 4 2 2 2 5 2 3 2 2 1 3P11 习题 T7已知矩阵 M,其中 aR.若点 P(1,2)在矩阵 M 的变换下得到点 2 a 2 1 P(4,0),实数 a 的值为_ 答案 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由 ,得 22a4, 2 a 2 1 1 2 4 0 解得 a3. 4P39 例 1(1)已知 A,B,求 AB. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 解 AB 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
7、1 2 1 2 ( 1 2) 1 2 ( 1 2) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 2) 1 2 ( 1 2) 1 2 1 2 . 0 0 0 0 题组三 易错自纠 5A,B,则 AB 的逆矩阵为_ 1 0 0 1 0 1 1 0 答案 0 1 1 0 解析 A1,B1, 1 0 0 1 0 1 1 0 (AB)1B1A1. 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 6 设椭圆的方程为x2 1, 若它在矩阵M对应的伸压变换下变为一个圆, 则实数a y2 a 1 0 0 1 2 _. 答案 4 解析 设 P(x,y)为椭圆上任意一点,变换后为 P(x,y), 高清试卷 下载
8、可打印 高清试卷 下载可打印 则, x y 1 0 0 1 2 x y x 1 2y 所以 xx,y2y,代入椭圆的方程,得 x21. 4y2 a 因为它表示圆,所以 a4. 7已知矩阵 A,B,求矩阵 A1B. 1 0 0 2 1 2 0 6 解 设矩阵 A 的逆矩阵为, a b c d 则, 1 0 0 2 a b c d 1 0 0 1 即, a b 2c 2d 1 0 0 1 故 a1,b0,c0,d , 1 2 从而 A 的逆矩阵 A1, 1 0 0 1 2 所以 A1B . 1 0 0 1 2 1 2 0 6 1 2 0 3 题型一 矩阵与变换 1已知 a,b 是实数,如果矩阵 M
9、所对应的变换将直线 xy1 变换成 x2y1, 2 a b 1 求 a,b 的值 解 设点(x, y)是直线 xy1 上任意一点, 在矩阵 M 的作用下变成点(x, y), 则 2 a b 1 x y , x y 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以Error! 因为点(x,y)在直线 x2y1 上, 所以(22b)x(a2)y1,即Error! 所以Error! 2二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,1)与(2,1)分别变换成点(1,1)与(0,2) (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在矩阵 M 变换作用下得到了直线 m:xy4,求直线 l 的方程 解 (1)设 M,则有, a
10、 b c d a b c d 1 1 1 1 , a b c d 2 1 0 2 所以Error!且Error!解得Error! 所以 M. 1 2 3 4 (2)设直线 l 上任意一点 P(x,y), 在矩阵 M 的变换作用下得到点 P(x,y) 因为 , x y 1 2 3 4 x y x2y 3x4y 且 m:xy4,所以(x2y)(3x4y)4, 整理得 xy20,所以直线 l 的方程为 xy20. 思维升华 已知变换前后的坐标,求变换对应的矩阵时,通常用待定系数法求解 题型二 求逆矩阵 例 1 已知矩阵 det(A),B. 2 1 4 3 1 1 0 1 (1)求 A 的逆矩阵 A1
11、; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)求矩阵 C,使得 ACB. 解 (1)因为|A|23142, 所以 A1. 3 2 1 2 4 2 2 2 3 2 1 2 2 1 (2)由 ACB 得(A1A)CA1B,故 CA1B 3 2 1 2 2 1 1 1 0 1 . 3 2 2 2 3 思维升华 求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设 A 是一个二阶可逆矩阵,ABBAE; a b c d (2)公式法 |A|adbc0,有 A1. | a b c d| d |A| b |A| c |A| a |A| 跟踪训练 1 已知矩阵 A,矩阵 B 的逆矩阵 B1,求矩阵 AB. 1 0 2
12、 2 1 1 2 0 2 解 B(B1)1. 2 2 1 2 2 0 2 1 2 1 1 4 0 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AB . 1 2 0 2 1 1 4 0 1 2 1 5 4 0 1 题型三 特征值与特征向量 例 2 已知矩阵 A 的逆矩阵 A1. 2 1 1 2 (1)求矩阵 A; (2)求矩阵 A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 解 (1)因为矩阵 A 是矩阵 A1的逆矩阵,且|A1|221130, 所以 A. 1 3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 2 3 (2)矩阵 A1的特征多项式为 f ()243(1)(3), | 2 1 1
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