2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十章 算法、统计与概率 10.5 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.5 古典概型 古典概型 考情考向分析 古典概型每年都会考查, 主要考查实际背景下的可能事件, 通常与互斥事件、 对立事件一起考查,其中计数的方法局限于枚举法常以填空题形式出现,属于中低档题 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 2古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型 (1)所有的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件的发生都是等可能的 3如果 1 次试验的等可能基本事件共有 n 个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 . 1 n 如果某个事件 A
2、包含了其中 m 个等可能基本事件,那么事件 A 发生的概率为 P(A) . m n 4古典概型的概率公式 P(A). A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 概念方法微思考 1任何一个随机事件与基本事件有何关系? 提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2如何判断一个试验是否为古典概型? 提示 一个试验是否为古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性 和等可能性 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽” 与
3、“不发芽” ( ) (2)掷一枚硬币两次, 出现 “两个正面” “一正一反” “两个反面” , 这三个结果是等可能事件 ( ) (3)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量, 属于古典概型 ( ) (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .( ) 1 3 (5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 0.2.( ) (6)在古典概型中,如果事件 A 中基本事件构成集合 A,且集合 A 中的元素个数为 n,所有的 基本事件构成集合 I,且集合 I
4、 中元素个数为 m,则事件 A 的概率为 .( ) n m 题组二 教材改编 2P103 练习 T6从 A,B,C 三名同学中选 2 名为代表,则 A 被选中的概率为_ 答案 2 3 解析 从 A,B,C 三名同学中选 2 名为代表,有 AB,AC,BC 三种可能,则 A 被选中的概 率为 . 2 3 3P101 例 3一个盒子里装有标号为 1,2,3,4 的 4 张卡片,随机地抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率是_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 2 3 解析 抽取两张卡片的基本事件有 : (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)
5、,(3,4),共 6 种,和为奇 数的事件有:(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共 4 种 所求概率为 . 4 6 2 3 4P103 练习 T4袋中装有 6 个白球,5 个黄球,4 个红球,从中任取一球,则取到白球的概 率为_ 答案 2 5 解析 从袋中任取一球,有 15 种取法,其中取到白球的取法有 6 种,则所求概率为 P . 6 15 2 5 5P103 习题 T4同时掷两个骰子,向上点数不相同的概率为_ 答案 5 6 解析 掷两个骰子一次, 向上的点数共 6636(种)可能的结果, 其中点数相同的结果共有 6 种,所以点数不相同的概率为 P1 . 6 6 6 5 6 题
6、组三 易错自纠 6 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行, 则2本数学书相邻的概率为_ 答案 2 3 解析 设两本不同的数学书为 a1, a2, 1 本语文书为 b, 则在书架上的摆放方法有 a1a2b, a1ba2, a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共 6 种,其中数学书相邻的有 4 种 因此 2 本数学书相邻的概率为 P . 4 6 2 3 7已知函数 f(x)2x24ax2b2,若 a4,6,8,b3,5,7,则该函数有两个零点的概率为 _ 答案 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 要使函数 f(x)2x24ax2b2有两个零点,即方程
7、 x22axb20 有两个实根, 则 4a24b20,又 a4,6,8,b3,5,7,即 ab,而 a,b 的取法共有 339(种), 其中满足 ab 的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7),共 6 种,所以所求的概率为 6 9 . 2 3 题型一 基本事件与古典概型的判断 1下列试验中,古典概型的个数为_ 向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率; 向正方形 ABCD 内,任意抛掷一点 P,点 P 恰与点 C 重合; 从 1,2,3,4 四个数中,任取两个数,求所取两数之一是 2 的概率; 在线段0,5上任取一点,求此点小于 2 的概率 答案 1
8、 解析 中,硬币质地不均匀,不是等可能事件, 所以不是古典概型; 的基本事件都不是有限个,不是古典概型; 符合古典概型的特点,是古典概型 2有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字 1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩 具的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第 1 个正四面体玩具出现的点数,y 表示第 2 个正 四面体玩具出现的点数试写出: (1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件; (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4
9、), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4) (2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件为 (1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) 3袋中有大小相同的 5 个白球,3 个黑球和 3 个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从 中摸出一个球 (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球
10、的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不 是古典概型? (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模 型,该模型是不是古典概型? 解 (1)由于共有 11 个球,且每个球有不同的编号,故共有 11 种不同的摸法 又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率 模型为古典概型 (2)由于 11 个球共有 3 种颜色,因此共有 3 个基本事件,分别记为 A:“摸到白球” ,B: “摸到黑球” ,C:“摸到红球” , 又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为,而白球有 5 个, 1 11 故一次摸球摸到白
11、球的可能性为, 5 11 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为, 3 11 显然这三个基本事件出现的可能性不相等, 故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 思维升华 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限 性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 题型二 古典概型的求法 例 1 (1)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽得的 第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_ 答案 2 5 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽
12、取 1 张的情况如图: 基本事件总数为 25, 第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10, 所求概率 P . 10 25 2 5 (2)袋中有形状、大小都相同的 4 个球,其中 1 个白球,1 个红球,2 个黄球,从中一次随机 摸出 2 个球,则这 2 个球颜色不同的概率为_ 答案 5 6 解析 设取出的 2 个球颜色不同为事件 A,基本事件有 : (白,红),(白,黄),(白,黄),(红, 黄),(红,黄),(黄,黄),共 6 种,事件 A 包含 5 种,故 P(A) . 5 6 (3)(2018无锡模拟)从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 名参加座谈会, 则选出的 2
13、人恰好为 1 男 1 女的概率为_ 答案 3 5 解析 记 3 名男生分别为 x1, x2, x3,2 名女生分别为 y1, y2, 则从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 名包含的基本事件为(x1, x2), (x1, x3), (x2, x3), (x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x3, y1), (x3, y2), (y1, y2), 共10个其中选出的2人恰好为1男1女包含6个基本事件,分别为(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2, y2), (x3, y1), (x3,y
14、2)故所求事件的概率为 . 6 10 3 5 引申探究 1 本例(2)中, 若将 4 个球改为颜色相同, 标号分别为 1,2, 3,4 的四个小球, 从中一次取两球, 求标号和为奇数的概率 解 基本事件数仍为 6.设标号和为奇数为事件 A,则 A 包含的基本事件为(1,2),(1,4),(2,3), (3,4),共 4 种, 所以 P(A) . 4 6 2 3 2本例(2)中,若将条件改为有放回地取球,取两次,求两次取球颜色相同的概率 解 基本事件为(白,白),(白,红),(白,黄),(白,黄),(红,红),(红,白),(红,黄),(红, 黄),(黄,黄),(黄,白),(黄,红),(黄,黄),
15、(黄,黄),(黄,白),(黄,红),(黄,黄), 共 16 种, 其中颜色相同的有 6 种, 故所求概率 P . 6 16 3 8 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的 个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具 体应用时可根据需要灵活选择 跟踪训练 1 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3中选 择 2 个国家去旅游 (1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包
16、括 A1但不包括 B1的概率 解 (1)由题意知,从 6 个国家中任选 2 个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1, A2, A1, A3, A1, B1, A1, B2, A1, B3, A2, A3, A2, B1, A2, B2, A2, B3, A3, B1, A3, B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共 15 个 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3, 共 3 个, 则所求事件的概率为 P . 3 15 1 5 (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个, 其一切可
17、能的结果组成的基本事件有 : A1, B1, A1, B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共 9 个 包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有: A1,B2,A1,B3,共 2 个, 则所求事件的概率为 P . 2 9 题型三 古典概型与统计的综合应用 例 2 某县共有 90 个农村淘宝服务网点, 随机抽取 6 个网点统计其元旦期间的网购金额(单位 : 万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数 (1)根据茎叶图计算样本数据的平均数; (2)若网购金额(单位:万元)不小于 18 的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务
18、网 点,根据茎叶图推断这 90 个服务网点中优秀服务网点的个数; (3)从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查,求恰有 1 个网点是优秀服务 网点的概率 解 (1)由题意知,样本数据的平均数 12.x 4612121820 6 (2)样本中优秀服务网点有 2 个,概率为 ,由此估计这 90 个服务网点中优秀服务网点有 2 6 1 3 90 30(个) 1 3 (3)样本中优秀服务网点有2个, 分别记为a1, a2, 非优秀服务网点有4个, 分别记为b1, b2, b3, b4, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个的可能
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