2020高考人教数学(理)大一轮复习检测:第七章 第四节 空间向量及其应用 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 限时规范训练限时规范训练(限时练限时练夯基练夯基练提能练提能练) A 级 基础夯实练级 基础夯实练 1.若直线若直线 l的方向向量与平面的方向向量与平面 的一个法向量的夹角等于的一个法向量的夹角等于 120, 则直线 , 则直线 l 与平面与平面 所成的角等于所成的角等于( ) A120 B60 C30 D60或或 30 解析:选解析:选 C.设直线设直线 l 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ,直线,直线 l 与平面与平面 的 法向量的夹角为 的 法向量的夹角为 . 则则 sin |cos |cos 120| . 1 1 2 2 又因为又因为 0
2、90,所以,所以 30. 2.(2018赣州模拟赣州模拟)已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为 m(0, 1, 0), n (0,1,1),则两平面所成的二面角为,则两平面所成的二面角为( ) A45 B135 C45或或 135 D90 解析 : 选解析 : 选 C.cosm,n,即,即m,n45 mn |m|n| 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ,其补角为,其补角为 135.所以两平面所成的二面角为所以两平面所成的二面角为 45或或 135. 3.(2018九江模拟九江模拟)在四棱锥在四棱锥 PABCD 中,中,(4, , 2, 3), A AB B A AD D (4
3、,1,0),(6,2,8),则这个四棱锥的高,则这个四棱锥的高 h( ) A AP P A1 B2 C13 D26 解析:选解析:选 B.设平面设平面 ABCD 的一个法向量为的一个法向量为 n(x,y,z) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则 n AB , n AD ) 4 4x x2y3z0, 4xy0,) 令令 y4,则,则 n, (1 1, ,4 4,4 4 3 3) 则则 cosn, , . A AP P nAP |n|AP | 6832 3 13 3 2 26 2 26 6 2 26 6 因为因为|cosn, , |,所以,所以 h22. h h | |A AP P
4、| | A AP P 2 26 6 2 26 6 26 4.(2018辽宁大连测试辽宁大连测试)在空间直角坐标系在空间直角坐标系 Oxyz 中,一个四面体 的顶点坐标分别是 中,一个四面体 的顶点坐标分别是(1,0,2),(1,2,0),(1,2,1),(0,2,2),若 正视图以 ,若 正视图以 yOz 平面为投射面,则该四面体侧视图的面积为平面为投射面,则该四面体侧视图的面积为( ) A. B1 1 1 2 2 C2 D4 解析:选解析:选 B.如图,在棱长为如图,在棱长为 2 的正方体中建立空间直角坐标系的正方体中建立空间直角坐标系 Oxyz, 确定四面体的四个顶点, 设为, 确定四面体
5、的四个顶点, 设为 A, B, C, D, 则侧视图以, 则侧视图以BCD 所在的平面为投射面,对应的射影分别为所在的平面为投射面,对应的射影分别为 A,B,C,D,从 而该四面体的侧视图,即 ,从 而该四面体的侧视图,即ABD的面积为 的面积为 121,故选,故选 B. 1 1 2 2 5.已知底面是边长为已知底面是边长为 2 的正方形的四棱锥的正方形的四棱锥 PABCD 中, 四棱锥的中, 四棱锥的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 侧棱长都为侧棱长都为 4,E 是是 PB 的中点,则异面直线的中点,则异面直线 AD 与与 CE 所成角的余 弦值为 所成角的余 弦值为( ) A.
6、 B 6 6 4 4 3 3 3 3 C. D 1 1 2 2 2 2 2 2 解析 : 解法一 : 选解析 : 解法一 : 选 A.如图, 取如图, 取 PC 的中点的中点 F, 连接, 连接 EF, 则 , 则 EF1, 且, 且ECB 为异面直线为异面直线 AD 与与 CE 所成的 角在 所成的 角在PEF 中,由余弦定理,得中,由余弦定理,得 cosEPF .在在PEC 中,由余弦定理,得中,由余弦定理,得 CE2PE2PC2 2 22 222 212 2 2 2 2 2 2 2 7 7 8 8 2PEPCcosEPC2242224 6,所以,所以 cosECB 7 7 8 8 ,故选
7、,故选 A. E EC C2 2BC2 2EB2 2 2 2 E EC CB BC C 6 64 4 2 6 2 6 6 4 4 解法二:设解法二:设 O 为正方形为正方形 ABCD 的对角线的对角线 AC 与与 BD 的交点,根据题意建立如图所示的空间直 角坐标系,则 的交点,根据题意建立如图所示的空间直 角坐标系,则 A(1, ,1,0), D(1, , 1,0), C(1, 1, 0), E( , , ,), 所 以, 所 以 ( 2, 0, 0), 1 2 1 1 2 2 1 14 4 2 2 A AD D C CE E , ( 3 3 2 2, ,1 2, , 14 2) 所以所以|
8、cos, , | A AD D C CE E | A AD D CE |AD |CE | 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ,故选,故选 A. | 3 2 ( 3 2) 2 (1 2) 2 ( 14 2) 2 | 6 6 4 4 6.如图, 在棱长为如图, 在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中,中, P 为线段为线段 A1B 上的动点,则下列结论正确的是上的动点,则下列结论正确的是( ) ADB1D1P B平面平面 AD1P平面平面 A1DB1 CAPD1的最大值为的最大值为 90 DAPPD1的最小值为的最小值为 2 2 6 2 解析 : 选解析 : 选 B.
9、建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 则有 , 则有 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1( (1,1,1), (0, 1, , 1), 又, 又 P 为线段为线段 A1B 上的动点, 上的动点, A A1 1B B 设设 P(1, 1)(01), (1,0,1),(1,),设,设 n(x,y,z)是平是平 A AD D1 1 D D1 1P P 面面 AD1P 的法向量,则有的法向量,则有 即可取即可取 n, nAD1 1 0, nD1 1P P 0,) xz0, x xyz0,)
10、(1 1, ,1 11 , ,1 1) 又平面又平面 A1DB1的法向量可为的法向量可为(1,0,1),n0, A AD D1 1 A AD D1 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 平面平面 AD1P平面平面 A1DB1.故选故选 B. 7.如图,已知四棱锥如图,已知四棱锥PABCD的底面的底面ABCD是边长 为 是边长 为2的正方形,的正方形,PAPD, 平面, 平面ABCD平面平面PAD, M5 5 是是 PC 的中点,的中点,O 是是 AD 的中点,则直线的中点,则直线 BM 与平面与平面 PCO 所成角的正弦值是所成角的正弦值是_ 解析:以解析:以 O 为原点,为原点,O
11、A 所在直线为所在直线为 x 轴,过轴,过 O 且平行于且平行于 AB 的 直线为 的 直线为 y 轴,轴,OP 所在直线为所在直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz, 则, 则 B(1, 2, 0), P(0, 0, 2), C(1, 2, 0), M, O(0, 0, 0), ( 1 2, ,1 1,1 1) (0,0,2),(1,2,0),. O OP P O OC C B BM M ( 3 2, ,1,1 1) 设平面设平面 PCO 的法向量为的法向量为 m(x,y,z), 则可取则可取 m(2,1,0), mOP 2z0, mOC x2
12、y0,) 设直线设直线 BM 与平面与平面 PCO 所成的角为所成的角为 , 则, 则 sin |cosm, , | B BM M . | B BM M m |m|BM | 4 4 5 5 1 17 7 4 4 8 8 8 85 5 8 85 5 答案:答案: 8 8 8 85 5 8 85 5 8.已知四棱锥已知四棱锥 PABCD 的底面的底面 ABCD 是正方形,是正方形,PA平面平面 ABCD, 且, 且 PAAD, 则平面, 则平面 PAB 与平面与平面 PCD 所成的所成的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 二面角的大小为二面角的大小为_ 解析 : 解法一 : 如图,过点解
13、析 : 解法一 : 如图,过点 P 作直线作直线 lAB,直线,直线 l 就是平面就是平面 PAB 与平面与平面 PCD 的交线,的交线, PA平面平面 ABCD, , PACD, 又, 又 CDAD, , CD平面平面 PAD, l 平面平面 PAD, PDl,PAl,故,故DPA 就是平面就是平面 PAB 与平面与平面 PCD 所成的 二面角的平面角, 所成的 二面角的平面角, 在在 RtPAD 中,中,DPA. 4 4 平面平面 PAB 与平面与平面 PCD 所成的二面角的大小为所成的二面角的大小为. 4 4 解法二 : 设解法二 : 设 PAAD1, 以, 以 A 为坐标原点,为坐标原
14、点,AB, AD,AP 所在直线分别为所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 Axyz,则,则 P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), , (1, 0, 0), , (0,1,1) C CD D P PD D 设设 n(x,y,z)是平面是平面 PCD 的法向量,则有即的法向量,则有即 nCD 0, nPD 0,) 可取可取 n(0,1,1) x0, y yz0,) 易知平面易知平面 PAB 的一个法向量为的一个法向量为(0,1,0), A AD D 则则 cosn, , , A A
15、D D nAD |n|AD | 1 1 2 2 2 2 2 2 平面平面 PAB 与平面与平面 PCD 所成的二面角的大小为所成的二面角的大小为. 4 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:答案: 4 4 9.(2018河南郑州质量预测河南郑州质量预测)如图, 在四边形如图, 在四边形 ABCD 中,中, ABCD, , BCD, 四边形, 四边形 ACFE 为矩形, 且为矩形, 且 CF平面平面 ABCD, ADCD 2 2 3 3 BCCF. (1)求证:求证:EF平面平面 BCF; (2)点点 M 在线段在线段 EF 上运动,当点上运动,当点 M 在什么位置时,平面在什么
16、位置时,平面 MAB 与平面与平面 FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值 解:解:(1)证明:在梯形证明:在梯形 ABCD 中,设中,设 ADCDBC1, ABCD,BCD,AB2,AC2AB2BC2 2 2 3 3 2ABBCcos3. 3 3 AB2AC2BC2,BCAC. CF平面平面 ABCD,AC平面平面 ABCD, ACCF,又,又 CFBCC, AC平面平面 BCF. 四边形四边形 ACFE 是矩形,是矩形,EFAC,EF平面平面 BCF. (2)由由(1), 以, 以 CA, CB, CF 所在直线分别为所在直线分别为 x 轴
17、,轴,y 轴,轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz, 设, 设 AD CD BC CF 1, 令, 令 FM 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (0),则,则 C(0,0,0),A(, 0, 0), B(0, 1, 0), M(, 0, 1),3 33 3 (,1,0),(,1,1), A AB B 3 3B BM M 设平面设平面 MAB 的法向量为的法向量为 n1(x,y,z), 则即则即 n1 1A AB B 0, n1 1B BM M 0.) 3xy0, x xyz0,) 令令 x1,则,则 n1(1, , ,)为平面为平面 MAB
18、的一个法向量的一个法向量3 33 3 易知易知 n2(1,0,0)是平面是平面 FCB 的一个法向量,的一个法向量, 设平面设平面 MAB 与平面与平面 FCB 所成锐二面角为所成锐二面角为 , 则则 cos | |n1 1n2 2| | | |n1 1| | |n2 2| | 1 1 1 13( ( 3) )2 2 1 1 . 1 1 ( ( 3) )2 24 0,当,当 0 时,时,cos 有最小值,有最小值,3 3 7 7 7 点点 M 与点与点 F 重合时,平面重合时,平面 MAB 与平面与平面 FCB 所成锐二面角最 大,此时二面角的余弦值为 所成锐二面角最 大,此时二面角的余弦值为
19、. 7 7 7 7 10.如图, 在长方体如图, 在长方体 ABCDA1B1C1D1中,中, AA1AD 1,E 为为 CD 的中点的中点 (1)求证:求证:B1EAD1. (2)在棱在棱 AA1上是否存在一点上是否存在一点 P,使得,使得 DP平面平面 B1AE.若存在, 求 若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明理由的长;若不存在,说明理由 解 :解 : (1)证明 : 以证明 : 以 A 为原点, , ,的方向分别为为原点, , ,的方向分别为 x 轴,轴, y 轴,轴, z A AB B A AD D A AA A1 1 轴的正方向建立空间直角坐标系轴的正方向建立空间直角坐标系(如图
20、如图) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设设 ABa, 则, 则 A(0, 0, 0), D(0, 1, 0), D1(0, 1, 1), E, B1(a, ( a a 2 2, ,1 1,0 0) 0,1), 故故(0,1,1), A AD D1 1 B B1 1E E ( a 2, ,1 1,1) (a,0,1),. A AB B1 1 A AE E ( a a 2 2, ,1 1,0 0) 因为 因为 011(1)10, B B1 1E E A AD D1 1 a a 2 2 所以所以 B1EAD1. (2)假设在棱假设在棱 AA1上存在一点上存在一点 P(0,0,z0),
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