数字信号处理(曹成茂)第四章 无限长单位脉冲响应(iir)滤波器设计方法.ppt
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1、第四章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计方法,4.1滤波器的基本原理,系统函数为:,bi0,i0,该系统为IIR系统。当所有bi=0, i0,该系统为FIR系统,4.1.1滤波器的分类,模拟滤波器,数字滤波器,4.1.2 可实现滤波器的特性,通带波动 最小阻带衰减At,式中,通带内,阻带内,设计方法: 先设计一个合适的模拟滤波器,然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式,设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域,作为设计数字滤波器的工具。,最优化设计方法 分两步: a) 确定一种最优准则,如最小均方误差准则,即使设计
2、出的实际频率响应的幅度特性 (与所要求的理想频率响应 的均方误差最小,,此外还有其他多种误差最小准则, b) 在此最佳准则下,求滤波的系数 和 通过不断地迭代运算,改变 、 ,直到 满足要求为止。,滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标,一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此,s平面与z 平面间的映射,s平面的虚轴映射z平面的单位圆(r=1) ,s平面的左半平面映射z平面单位圆内(r1)。,由 确定 的方法如下: (1)由 得到象限对称的s平面函数; (2)将 因式分解,得到各零极点,将左半平面极点 归于 。 轴上的零点或者极点都为偶次,应取一半
3、 (应为共轭对)作为 的零点或极点。 (3)按照 与 的低频或高频特性的对比 就可以确定出增益常数。 (4)由求出的零点,极点及增益常数,则可完全确定系统 函数,例 根据以下幅度平方函数 确定系统函数,解:,Step1:,Step2:,Step3:,4.2 模拟滤波器设计方法,为了方便学习数字滤波器,先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法,高通、带通 、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法,由低通滤波器变换得到。 模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s),使其逼近某个理想滤波器特性。 因果系统中 式中ha(t)为系统的冲激响应,是实函数。 不难看出,定义振幅平方函数 式中
4、Ha(s)模拟滤波器 系统函数 Ha(j)滤波器的频率响应 |Ha(j)|滤波器的幅频响应 又 S=j,2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j,问题:由A(-S2)Ha(S) 对于给定的A(-S2),先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点,由(1)式知,A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”,且对称于S平面的实轴和虚轴,选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点,则可得到Ha(s)。 为了保证Ha(s)的稳定性,应选用 A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点,零点可选用任一半。,N为滤波器阶数, 如图1,其幅度平方函数:,特点:具有通带内最大平坦的振幅
5、特性,且随f,幅频特 性 单调。,三种模拟低通滤波器的设计: 4.2.1巴特沃兹滤波器 (Butterworth 滤波器) (巴特沃兹逼近),图1 巴特沃兹滤波器 振幅平方函数,通带: 使信号通过的频带 阻带:抑制噪声通过的频带 过渡带:通带到阻带间过渡的频率范围 c :通带边界频率。 过渡带为零, 阻带|H(j)|=0 通带内幅度|H(j)|=const., H(j)的相位是线性的。,理想滤波器,图1中,N增加,通带和阻带的近似性越好,过渡带越陡。 在过渡带内,阶次为的巴特沃兹滤波器的幅度响应趋于斜率为-6NdB/倍频程的渐近线。 通带内,分母/c1, ( /c)2N 1, 增加, A(2)
6、快速减小。 =c, , ,幅度衰减 , 相当于3dB衰减点。,振幅平方函数的极点: 令分母为零,得 可见,Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点,它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。 例:为N=3阶BF振幅平方函数的极点分布,如图2。,图2 三阶A(-S2)的极点分布,考虑到系统的稳定性,知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3,SP4,SP5)组成的,它们分别为: 系统函数为: 令 ,得归一化的三阶BF: 反归一化,则有,MATLAB设计模拟Butterworth filter,例:设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器 fp=1kHz, fs=
7、5kHz, Ap=1dB, As=40dB,Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40; N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); num,den = butter(N,Wc,s); omega = 0: 200: 12000*pi; h = freqs(num,den,omega); gain = 20*log10(abs(h); plot (omega/(2*pi),gain); xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);,0,1000,2000,3000,4000,5000,6000,-50,-4
8、0,-30,-20,-10,0,Frequency in Hz,G,a,i,n,i,n,d,B,N=4 Ap= 0.1098 dB As= 40.0000 dB,4.2.2切比雪夫(Chebyshev)滤波器 (切比雪夫多项式逼近) 特点:误差值在规定的频段上等幅变化。 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的,如果阶次一定,则在靠近截止频率 处,幅度下降很多,或者说,为了使通内的衰减足够小,需要的阶次(N)很高,为了克服这一缺点,采用切比雪夫多项式逼近所希望的 。 切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的,所以同样的通带衰减,其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量(波
9、动范围)提出要求,如要求波动范围小于1db。,振幅平方函数为,有效通带截止频率 与通带波纹有关的参量, 大 ,波纹大。 0 1 VN(x)N阶切比雪夫多项式,定义为,如图,通带内 变化范围1 c ,随/c , 0 (迅速趋于零) 当 =0时, N为偶数, ,min , N为奇数, , max,,切比雪夫滤波器的振幅平方特性,给定通带波纹值分贝数 后,可求 。,有关参数的确定: a、通带截止频率c ,预先给定 b、通带波纹为,c、阶数N由阻带的边界条件确定。( 、A事先给定),MATLAB设计模拟type I Chebyshev filter,例:设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器,fp
10、=1KHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dB,Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40; N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s); num,den = cheby1(N,Ap,Wc,s); omega=Wp Ws; h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2); omega = 0: 200: 12000*pi; h = freqs(num,den,omega); gain
11、 = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain); xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);,Ap= 1.0000 As= 47.8467,4.2.3椭圆滤波器(考尔滤波器) 特点:幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的,对于给定的阶数和给定的波纹要求,椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽,就这点而言,椭圆滤波器是最优的。 其振幅平方函数为 RN(,L)雅可比椭圆函数 L表示波纹性质的参量,N=5, 的特性曲线 可见,在归一化通带内(-11), 在(0,1)间振荡,而超过L后 , 在 间振荡。 这一特点使滤
12、波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。,下图为典型的椭圆滤波器振幅平方函数 椭圆滤波器的振幅平方函数 图中和A的定义 同切比雪夫滤波器,当c、r、和A确定后,阶次N的确定方法为:,式中,为第一类完全椭圆积分,MATLAB设计椭圆低通滤波器,N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s) 确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。 num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s) 确定阶数为N,通带衰减为Ap dB,阻带衰减为As dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。,上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法,设计时按照指标要求,合理选用。 一般,
13、相同指标下,椭圆滤波器阶次最低,切比雪夫次之,巴特沃兹最高,参数的灵敏度则恰恰相反。,4.2.4 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计,模拟高通带通带阻滤波器可以通过简单的频率变换来实现。设计过程为: 将模拟滤波器的参数指标通过频率变换转化为原型模拟低通滤波器的参数指标。 设计满足指标要求的原型模拟低通滤波器。 通过频率变换将原型模拟低通滤波器的系统函数变换为其他类型(高通、带通和带阻)的模拟滤波器,MATLAB实现模拟滤波器的频率变换 低通到高通变换 B,A=lp2hp(num, den, w0) 给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den,通过频率变换求得高通模拟滤波器,w0
14、为高通滤波器的通带边界角频率。 低通到带通变换 B,A=lp2bp(num, den, w0, Bw) 给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den,通过频率变换求得带通模拟滤波器,w0为带通滤波器的中心角频率,w为带通滤波器的通带带宽(rad/s)。, 低通到带通变换 B,A=lp2bs(num, den, w0, Bw) 给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den,通过频率变换求得带阻模拟滤波器,w0为阻带的中心角频率,w为阻带带宽(rad/s)。,4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器,利用模拟滤波器设计数字滤波器,就是从已知的模拟滤波器系统函数Ha(s
15、)设计数字滤波器系统函数H(z),这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换,这种映射变换应遵循两个基本原则: 1)H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响,即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上。 2)Ha(s) 的因果稳定性映射成 H(z)后保持不变,即S平面的左半平面 ReS0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。,下面讨论两种常用的映射变换方法: 4.3.1脉冲响应不变法 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器,也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性,这种模仿可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发,使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)
16、的采样值,即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 如以 Ha(s) 及 H(z)分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换,即 Ha(s)=Lha(t) , H(z)=Zh(n),h(n)=ha(nT), Ha(s)=Lha(t) , H(z)=Zh(n) 如何由Ha(s)求H(z)?,计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数,模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点,且分母的阶数高于分子阶数 NM,则可表达为部分分式形式; 其拉氏反变换为: 单位阶跃 对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列,再对h(n)取Z变换,得到数字滤波器的传递函数:
17、第二个求和为等比级数之和,要收敛的话, 必有 所以有,根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系, 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的拉氏变换 之间的关系。, 理想采样 的拉氏变换 与采样序列 的 Z 变换 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。,s平面与z平面的映射关系,以上表明,采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时,它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换,正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系,即首先对Ha(s)作周期延拓,然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。,稳定性: 如果模拟滤波器是稳定的,则所有极点 Si 都在S左半平 面,即 Resi0 , 那么变换后H
18、(Z)的极点 也都在单位圆以内,即 , 因此数字滤波器保持稳定。,映射关系 : S平面上每一条宽为 的横带部分,都将重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内, 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外, 轴映射到单位圆上, 轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。,S 平面,Z 平面,应指出,Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H(Z)的关系,而不是Ha(s)本身与H(Z)的关系,因此,使用脉冲响应不变法时,从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系,即没有一个S=f(z)代数关系式。 混迭: 还可看到,数字滤波器的
19、频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响,而是模拟滤波器频响的周期延拓:,脉冲响应不变法中的频响混淆,正如采样定律中所讨论的,如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内, 即,这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响(存在于折叠频率S/2以内) 但任何一个实际的模拟滤波器,其频响都不可能是真正带限的,因此不可避免地存在频谱的交叠,即混淆,如图,这时,数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大,失真则越小,这时,采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。,脉冲响应不变法的特点,频率坐标变换是线性的,即 ,如果不考虑频率
20、混叠现象,用此方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应,时域特性逼近好。 会产生频率混叠,适合低通、带通滤波器的设计,不适合高通、带阻滤波器的设计。,例,将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。 解:,模拟滤波器的频率响应为: 示于图a,数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?,MATLAB计算脉冲响应不变法的H(z),b,a = impinvar (NUM,DEN,Fs),产生一个分子分母系数分别为b和a的数字滤波器
21、,其脉冲响应的采样频率为Fs Hertz,系数NUM和DEN为模拟滤波器的系统函数的分子分母系数。,小结,1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的,与是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话,通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器,通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合,要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时,如要实现时域冲激响应的模仿,一般使用脉冲响应不变法。,3)如果Ha(s)是稳定的,即其极点在S左半平面,映射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的
22、最大缺点:有频谱周期延拓效应,因此只能用于带限的频响特性,如衰减特性很好的低通或带通,而高频衰减越大,频响的混淆效应越小,至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减,因此将完全混淆在低频响应中 ,此时可增加一保护滤波器,滤掉高于 的频带,再用脉 冲响应不变法转换为数字滤波器,这会增加设计的复杂性和滤波器阶数,只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。,4.3.2双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆,这是从S平面到Z平面的标准变换zesT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点,设想变换分为两步: 第一步:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里; 第二步:通
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