浙江师范大学《高等数学》d11_2对坐标曲线积分.ppt
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1、第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十一章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),2.
2、定义.,设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3. 性质,(2) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,(1) 设与为常数,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须
3、注意积分弧段的方向 !,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,证明: 在L上取一系列点,下面先证,A=M0,M1,M2,Mn=B,=t0,t1,t2,tn=,他们对应于一列单调变化的参数值:,根据对坐标的曲线积分定义有:,对应参数,设分点,由于,对应参数,因为L 为光滑弧 ,同理可证,由微分中值定理,积分下限对应于L的起点. 积分上限对应于L的终点, 不一定小于,说明:,计算对坐标的曲线积分,实际上是换元法:,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1
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