流体力学第二章 流体运动学基础.ppt
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1、2019/7/2,1,第二章 流体运动学基础,2019/7/2,2,第二章 流体运动学基础,流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动,通常不考虑力和质量等因素的影响。 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律,是流体力学的一个组成部分。 本章的学习目标: 掌握描述流动的两种方法(拉格朗日法及欧拉法),结合迹线,流线,流管,流体线等显示流动特性的曲线研究流动特性。,2019/7/2,3,了解流体微元的运动分解机理,即微团运动可分解为平移,整体转动,线变形运动及角变形运动。 掌握有旋运动与无旋运动的特点。无旋运动可引入速度势。不可压无旋运动是一个纯粹运动学问题,正确给出边界条件,是求解的关
2、键。,2019/7/2,4,本章学习的内容,描述流体运动的两种方法 运动的几何描述 连续流体线的保持性 流体微团的运动分析 有旋运动的一般性质 无旋运动的一般性质 不可压无旋流动的基本方程 不可压无旋流的动能,2019/7/2,5,2.1描述流体运动的两种方法,2019/7/2,6,2.1.1拉格朗日方法,拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态.如何区别流体的质点呢? 质点标识-通常是用某时刻各质点的空间坐标(a,b,c)来表征它们。 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志.,拉格朗日方法的一般表达:,a,b,c,t称为拉格朗日变数是流体质点
3、的标志。,2019/7/2,7,拉格朗日方法表示的速度,则有,同样,质点的加速度可表示为,其中,2019/7/2,8,它在直角坐标系中的分量为,流体的密度、压力、温度也可以写成a,b,c,t的函数,2019/7/2,9,已知用拉格朗日变数表示的速度场为,式中,a,b 是 t=0 时刻流体质点的直角坐标值。 求: t=2时刻流场中质点的分布规律; a=1,b=2这个质点的运动规律; 质点的加速度。,例题,2019/7/2,10,代入条件:在 t=0 时刻,x=a,y=b,求得积分常数,,解:,积分得:,2019/7/2,11,得各流体质点的一般分布规律,所以: (1)在 t =2 时刻流场中质点
4、分布规律,2019/7/2,12,(2)a=1,b=2流体质点的运动规律,(3) 加速度场,2019/7/2,13,2.1.2 欧拉方法,欧拉方法也称空间描述,它着眼于空间点,认为流体的物理量随空间点及时间而变化,也就是说,它把流体物理量表示成空间坐标及时间的函数。 欧拉方法研究的是流体的场,相比较于拉格朗日方法,它更适合于研究流体的运动。 拉格朗日方法着眼于流动过程中流体质点的运动,它比较适合于研究刚体的运动。,根据欧拉的观点,任何物理量(V,P,)都是坐标和时间的函数,在直角坐标系中,该物理量可以表示为,x,y,z,t:欧拉变数空间位置的标志,2019/7/2,14,注意事项:,不要把空间
5、点和流体质点混淆。 流体运动时,同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质点所占据。 所谓空间点上的物理量是指占据该点的各个流体质点的物理量。 在欧拉方法中,各物理量将是时间和空间点的函数。欧拉方法研究的是场。 最后指出,欧拉法和拉格朗日法只不过是描述流体运动的两种不同方法。对于同一问题,既可用拉格朗日法也可用欧拉法来描述。采用何种方法视具体问题而定。,2019/7/2,15,2.1.3 实质微商、加速度,实质微商(又称质点导数、随体导数):质点的物理量随时间的变化率。,实质微商在拉格朗日方法中的表达,实质微商在欧拉方法中的表达,物理量是空间和时间的函数,以速度为例,2019/7/2,16,欧拉描
6、述的流体的随体导数,实质微商在欧拉方法中的表达。设物理量是空间和时间的函数,以速度为例,2019/7/2,17,随体导数(实质微商、质点加速度),亦可写为:,某流体质点的速度对于时间的变化率就是该流体质点的加速度。按定义,式中,2019/7/2,18,随体导数(实质微商、质点加速度),写成分量形式为,另一方面,于不同时刻通过某一固定点的不同流点之速度一般也是不同的,但这种表示为,局地加速度 local acceleration,对流加速度 convective acceleration,2019/7/2,19,都可以表示成,实质微商,随体(物质、全)导数,随体导数(实质微商),类似的,与流体有
7、关的所有的物理量 如:,2019/7/2,20,求质点的加速度。,例题:,已知,解:,2019/7/2,21,课堂例题,一个流场,由u=2x,v=y来定义,试着求点(3,2)处的速度和加速度大小。 一个流场,由u=2y,v=xy来定义,试着求点(3,1)处的速度和加速度大小。 一个二维流场,由u=2+xy+3t2,v=2xy2+t来定义,试着求t=4时刻,点(2,3)处的速度和加速度大小。,2019/7/2,22,定常流、流量、平均流速,定常流:在流场中任何一点,所有的状态参数都不随时间 而变,但不同点处的参数可以不同。,单位时间内流过任何截面的流体数量称为流量。流量可以 表示为:体积流量(m
8、3/s)、质量流量(kg/s)、重量流量(N/s)。,V,dA,dA,体积流量:,2019/7/2,23,对于密度为常数的质量流量:,对一维流动,常采用平均速度的方法求流量:,例题:某种液体在直径为150mm的管路内流速为0.8m/s 试求流量(体积流量,质量流量)。,2019/7/2,24,2.1.5 球坐标系和柱坐标系中的加速度,2019/7/2,25,2019/7/2,26,同理可以导出加速度在柱坐标中的表达式:,可得平面极坐标中加速度的表达式,我们常常要寻求拉格朗日位移场 和欧拉速度场 之间的关系。,2.1.6 两种方法的相互转变,在此我们取t=0为拉格朗日参考时间,因此 拉格朗日的速
9、度场用下式给出,显然,应有如下等式:,如果给定拉格朗日表达式 ,则拉格朗日速度场确定 为了得到欧拉速度场,我们必须根据三个表达式反解,以求得 并将其代入拉格朗日速度场,即得以欧拉变数表示的速度场。,一、拉格朗日变数转变为欧拉变数,已知以拉格朗日变数表示的位移场为: 试求以欧拉变数表示的速度场。 解:我们对式(1)取时间导数得,例题,如果给定欧拉速度场表达式 则拉格朗日位移场不能直接从上式反解得到.但是根据 可以对速度场 在特定的初始条件和边界条件下积分得到拉格朗日变数。,二、欧拉变数转变为拉格朗日变数,给定二维欧拉流场 求以拉格朗日变数表示的流体运动。,例题,由已知条件得 积分得 式中 f 和
10、 g 是待定的 a 和 b 的函数。,解:,求出上式中的积分,我们有 给定初始条件:t =0 时,x=a和y=b,我们得f(a,b)=a和g(a,b)=b。 所以式(1)的拉格朗日等价形式是,经验:,由欧拉表示法到拉格朗日表示法的变换要求积分运算,而从拉格朗日表示法到欧拉表示法的变换要求微分运算.,2019/7/2,38,2.2运动的几何描述,2019/7/2,39,运动的几何描述学习要求,了解迹线和流线的概念 了解流线的性质 掌握迹线和流线的方程 了解迹线和流线的区别与联系,2019/7/2,40,流体力学是一门高度可见的科学,2019/7/2,41,流体力学是一门高度可见的科学,2019/
11、7/2,42,流体运动的几何描述迹线和流线,什么是迹线?,迹线,迹线(Path Line)是指某一流体质点在某一时段内的运动轨迹线。,关于迹线两点说明,2019/7/2,43,迹线的微分方程,由于在流体力学中通常采用欧拉描述,即给出的是速度场,迹线方程,写成分量形式为,2019/7/2,44,式中,u,v,w均为时空t,x,y,z的函数,且t是自变量。,或者写成如下形式,解微分方程组可得到迹线的方程,迹线方程,2019/7/2,45,已知流体质点的位置由拉格朗日变数表示为,例题,两式平方,相加得,解,求质点的轨迹。,2019/7/2,46,消去 t 得,,由条件 时 ,可解出,解:,积分得,,
12、设两维流动,求t=0时通过(1,1)点的迹线。,例,2019/7/2,47,在欧拉法中,应由速度场建立迹线方程。 迹线的微元长度向量应等于质点在微小时间间隔dt内所移动的距离,即,在直角坐标系中它可表示为,2019/7/2,48,例题 已知速度分布为, 求流体质点的迹线。 解:根据已知条件得 分别积分后可得,2019/7/2,49,流线,什么是流线?,流线是这样的曲线,在某一时刻,此曲线上任一点的切线方向与流体在该点的速度方向一致。,2019/7/2,50,流线(Stream Line)是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线,曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。它描述了流场中不同质点在同
13、一时刻的运动状况。,流线,关于流线两点说明,2019/7/2,51,参考右图。在流场中任取一点1,绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量;,如此继续下去,得一折线1234,若各点无限接近,我们将得到一条光滑的曲线,其极限就是某时刻的流线。,流线的绘制方法,1,2,3,4,5,沿着点1的速度矢量方向,找到距1点很近的2点,画出在同一时刻通过点2的流体质点的流速矢量;,再画出距2点很近的3点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量;,2019/7/2,52,a、同一时刻的不同流线,不能相交。,d、流线不能是折线,而是一条光滑的曲线。,e、对不可压缩流体,流线簇的疏密反映了速度的大小。,b、流场中的每
14、一点都有流线通过,由这些流线形成流谱。,c、流线的形状及位置,在定常流动时不随时间变化;而在不定常流动时,一般说来要随时间变化。,流线的性质,2019/7/2,53,根据流线的定义,可以求得流线的微分方程: 设dr为流线上A处的一微元弧长,V为流体质点在A点的流速,流线的方程,流速向量与流线相切,即没有垂直于流线的流速分量,V和dr重合。,即,2019/7/2,54,流线的方程,展开后得到:,即,流线方程,2019/7/2,55,流线与迹线的区别与联系,迹线是同一质点不同时刻所形成的曲线,它给出同一质点在不同时刻的速度方向;流线是同一时刻不同质点的所组成的曲线,它给出该时刻不同流体质点的运动方
15、向。 迹线方程中,时间 t 是自变量,x,y,z 是 t 的函数;在流线方程中,时间 t 是参数,积分时当作常量处理。 迹线是与拉格朗日方法相联系的;流线是与欧拉方法相联系的。 不定常运动时,流线和迹线一般是不重合的,而在定常运动时,二者必然重合。,2019/7/2,56,例 二维稳定流动的速度分布为 u=kx,v=-ky,w=0,这里 k 是一正的常数.求流动的流线。,解: 因为速度与时间无关,所以运动是稳定的。因此流线和迹线重合,又因为w=0,所以运动是二维的.,积分得,双曲线,2019/7/2,57,定常与非定常流动中的流线与迹线,2019/7/2,58,试求:,(1)在t=t0 瞬间,
16、过A(x0,y0,z0)点的流线方程; (2)在t=t0 瞬间,在A(x0,y0,z0)点的迹线方程。,例:已知流动速度场为,2019/7/2,59,(1)流线一般表达式为,积分得:,当t= t0 时,x= x 0 ,y=y 0得,即:,故,将本题已知条件代入有,解,2019/7/2,60,(2)迹线一般表达式为,即:,t是自变量,或写成:,代入本题已知条件有:,2019/7/2,61,解: 流线由式,积分得:,例 已知流速场为,其中C为常数(C0),求流线方程与迹线方程。,2019/7/2,62,因此,流线和迹线均为同心圆。当 时,,积分得:,表示流向为逆时针。因本例速度场与时间无关,为定常
17、流,表明定常流流线与迹线重合。,迹线由式,2019/7/2,63,例 已知平面流动 试求:(1)t=0时,过点M(1, 1)的流线 (2)求在t=0时刻位于x= 1,y= 1点处流体质点的迹线。,解:(1)由式 得,将: t=0,x=-1,y=-1 代入得瞬时流线 xy=1 即流线是双曲线,(2)由式 得,由 t=0时,x= 1,y=-1得C1=0, C2=0,则有:,或写成: (MC线),得:,迹线方程:,2019/7/2,64,在流场中,作一不与流线重合的任意封闭曲线,于同一时刻过此曲线上的每一点作流线,由这些流线所构成的管状曲面称作流管.,2.2.3 流管,流管截面,2019/7/2,6
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