2018_2019学年高中数学第二章平面向量4平面向量的坐标学案北师大版必修420190108298.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4 平面向量的坐标4 平面向量的坐标 内容要求 1.会用坐标表示平面向量的加、 减与数乘运算, 并能将向量的几何运算和代数运 算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条 件,并能正确地进行有关计算(难点) 知识点 1 平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解 (2)向量的坐标表示 : 在平面直角坐标系中, 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i i,j j 作为基底,a a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作a a.由平面向量基本定理OP 可
2、知,有且只有一对实数x,y,使得xi iyj j,因此a axi iyj j.我们把实数对(x,y)叫OP 作向量的坐标,记作a a(x,y) (3)向量坐标的求法 : 在平面直角坐标系中, 若A(x,y), 则(x,y), 若A(x1,y1),B(x2,y2),OA 则(x2x1,y2y1)AB 【预习评价】 1(正确的打“” ,错误的打“”) (1)相等向量的坐标相同;() (2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;() (3)一个坐标对应于唯一的一个向量;() (4)平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应() 2相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗?
3、 提示 由向量坐标的定义知 : 相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标 可以不同 知识点 2 平面向量的坐标运算 (1)若a a(x1,y1),b b(x2,y2),则a ab b(x1x2,y1y2),即两个向量和的坐标等于这 两个向量相应坐标的和 (2)若a a(x1,y1),b b(x2,y2),则a ab b(x1x2,y1y2),即两个向量差的坐标等于这 两个向量相应坐标的差 (3)若a a(x,y),R R,则a a(x,y),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 (4)已知向量的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则(x2x1,y2y
4、1)AB AB 【预习评价】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若A(2,1),B(1,3),则的坐标是( )AB A(1,2)B(1,2) C(3,4)D(3,4) (2)若向量a a(2,3),b b(1,2),则a ab b的坐标为( ) A(1,5)B(1,1) C(3,1)D(3,5) 答案 (1)C (2)C 知识点 3 向量平行的坐标表示 设a a,b b是非零向量,且a a(x1,y1),b b(x2,y2) (1)当a ab b时,有x1y2x2y10. (2)当a ab b且b b不平行于坐标轴,即x20,y20 时,有.即若两个向量(与坐标轴不 x1 x2
5、 y1 y2 平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行 【预习评价】 1平面向量a a(1,2),b b(2,x),若a ab b,则x_. 答案 4 2已知向量a a(2,6),b b(1,),若a ab b,则_ 解析 a ab b, 260, 解得3, 当3 时,b b(1, 3),a a2b b, a ab b 成立 答案 3 题型一 平面向量的坐标表示 【例1】 已知边长为2的正三角形ABC, 顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D 为AC的中点,分别求向量, , ,的坐标AB AC BC BD 解 如图,正三角形ABC的边长为 2,则
6、顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60), C(1,),D( ,),3 1 2 3 2 (2,0),(1,),AB AC 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (12,0)(1,),BC 33 ( 2,0)( ,)BD 1 2 3 2 3 2 3 2 规律方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标,只有当向量的起点在坐标 原点时,向量的坐标才等于终点的坐标 (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义 和性质进行计算 【训练 1】 若已知A(1,2),B(0,1),C(3,k) (1)求;AB (2)若已知
7、(m,2),试求k、m. 1 2AB BC 解 (1)A(1,2),B(0,1), (1,3)AB (2) (1,3)(3,k1) 1 2AB BC 1 2 . ( 7 2, 5 2k) 由已知(m,2), ( 7 2, 5 2k) m ,k . 7 2 1 2 题型二 平面向量坐标的线性运算 【例 2】 已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足(R R)AP AB AC (1)为何值时,点P在函数yx的图像上? (2)设点P在第三象限,求的取值范围 解 设P(x,y),则(x2,y3)AP AP AB AC (52,43)(72,103) (3,1)(5,7) (35,1
8、7), Error! Error! 点P的坐标是(55,47) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)令 5547,可得 , 1 2 当 时,点P在函数yx的图像上 1 2 (2)点P在第三象限, Error!解得1. 的取值范围是|1 规律方法 1.向量的坐标表示法,可以使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来, 这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算 2如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应相等 【训练 2】 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及t,试问:OP OA AB (1)当t为何值时,P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限? (2)四
9、边形OABP是否能成为平行四边形?若能,则求出t的值;若不能,说明理由 解 (1)由tOP OA AB (13t,23t),则P(13t,23t) 若P在x轴上,则 23t0,所以t ; 2 3 若P在y轴上,则 13t0,所以t ; 1 3 若P在第三象限,则Error! 所以t . 2 3 (2)因为(1,2),(33t,33t),若OABP是平行四边形,则,OA PB OA PB 所以Error!此方程组无解 故四边形OABP不可能是平行四边形 方向 1 向量共线的判定 【例 31】 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,3)判断与是否共线?如果共线,AB CD 它们的方
10、向相同还是相反? 解 (0,4)(2,1)(2,3)AB (5,3)(1,3)(4,6)CD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 方法一 (2)(6)340, 且(2)40,与共线且方向相反AB CD 方法二 2,CD AB 与共线且方向相反AB CD 方向 2 利用向量共线求参数 【例 32】 已知a a(1,2),b b(3,2),当k为何值时,ka ab b与a a3b b平行?平行时 它们是同向还是反向? 解 方法一 ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2), a a3b b(1,2)3(3,2)(10,4) 当ka ab b与a a3b b平行时,存在唯一的实数,
11、 使ka ab b(a a3b b), 即(k3,2k2)(10,4), Error! 解得k . 1 3 当k 时,ka ab b与a a3b b平行, 1 3 这时ka ab b (a a3b b)a ab b. 1 3 1 3 0,ka ab b与a a3b b反向 1 3 方法二 由方法一知ka ab b(k3,2k2), a a3b b(10,4) ka ab b与a a3b b平行, (k3)(4)10(2k2)0, 解得k . 1 3 此时ka ab b (a a3b b) ( 1 33, 2 32) 1 3 当k 时,ka ab b与a a3b b平行,并且反向 1 3 方向
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