2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题一三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 三角恒等变换与解三角形讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中关键是利用两角和 与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换,“角”的变换是三角恒等 变换的核心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要 考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)在ABC 中,cos ,BC1,AC5,则 AB( ) C 2 5 5 A.4 B.C. D. 2230295 解析 因为 cos ,所以 cos C2cos2 121 . C 2 5 5
2、C 2( 5 5) 2 3 5 于是,在ABC 中,由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212 25132.所以 AB4. ( 3 5) 2 答案 A 2.(2017全国卷)已知 ,tan 2,则 cos _. (0, 2) ( 4) 解析 ,且 tan 2,sin 2 cos , (0, 2) 又 sin 2cos21,所以 sin ,cos . 2 5 5 5 5 所以 cos(cos sin ). ( 4) 2 2 3 10 10 答案 3 10 10 3.(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中, ADC90, A45, AB2, BD5. (1)求 cosADB
3、; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)若 DC2,求 BC.2 解 (1)在ABD 中,由正弦定理得,即, BD sinA AB sinADB 5 sin 45 2 sinADB 所以 sinADB. 2 5 由题设知,ADB90, 所以 cosADB.1 2 25 23 5 (2)由题设及(1)知,cosBDCsinADB. 2 5 在BCD 中,由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC 25825225.2 2 5 所以 BC5. 4.(2018浙江卷)已知角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它 的终边过点 P . ( 3 5, 4 5)
4、 (1)求 sin()的值; (2)若角 满足 sin(),求 cos 的值. 5 13 解 (1)由角 的终边过点 P , ( 3 5, 4 5) 得 sin , 4 5 所以 sin()sin . 4 5 (2)由角 的终边过点 P ,得 cos , ( 3 5, 4 5) 3 5 由 sin(),得 cos(). 5 13 12 13 由 () 得 cos cos()cos sin()sin , 所以 cos 或 cos . 56 65 16 65 考 点 整 合 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.三角函数公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin()sin c
5、os cos sin ; cos()cos cos sin sin ; tan(). tan tan 1 tan tan (2)二倍角公式:sin 22sin cos ,cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3)辅助角公式:asin xbcos xsin(x),其中 tan .a2b2 b a 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在ABC 中,2R(R 为ABC 的外接圆半径); a sin A b sin B c sin C 变形:a2Rsin A,sin A, a 2R abcsin Asin Bsin C 等. (2)余弦定理 在ABC 中,a2b2
6、c22bccos A; 变形:b2c2a22bccos A,cos A. b2c2a2 2bc (3)三角形面积公式 SABC absin C bcsin A acsin B. 1 2 1 2 1 2 热点一 三角恒等变换及应用 【例 1】 (2018江苏卷)已知 , 为锐角,tan ,cos(). 4 3 5 5 (1)求 cos 2 的值; (2)求 tan()的值. 解 (1)因为 tan ,tan , 4 3 sin cos 所以 sin cos . 4 3 因为 sin2cos21,所以 cos2, 9 25 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此,cos 22cos21.
7、 7 25 (2)因为 , 为锐角,所以 (0,). 又因为 cos(), 5 5 所以 sin(),1cos2() 2 5 5 因此 tan()2. 因为 tan ,所以 tan 2, 4 3 2tan 1tan2 24 7 因此,tan()tan2(). tan 2tan() 1tan 2tan() 2 11 探究提高 1.三角恒等变换的基本思路:找差异,化同角(名),化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,
8、要根据已知求这个角的某种三角函数值, 然后结合角的取值范围,求出角的大小. 【训练 1】 (1)(2018广西三市联考)已知 x(0,),且 cossin2x,则 tan (2x 2) 等于( ) (x 4) A. B. C.3 D.3 1 3 1 3 (2)若 cos(2),sin(2),0 ,则 的值为_. 11 14 4 3 7 4 2 解析 (1)由 cossin2x 得 sin 2xsin2x, (2x 2) 又 x(0,),则 tan x2, 故 tan . (x 4) tan x1 1tan x 1 3 (2)因为 cos(2)且 2, 11 14 4 高清试卷 下载可打印 高清
9、试卷 下载可打印 所以 sin(2). 5 3 14 因为 sin(2)且 2 , 4 3 7 4 2 所以 cos(2) . 1 7 所以 cos()cos(2)(2) cos(2)cos(2)sin(2)sin(2) . 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2 因为 ,所以 . 4 3 4 3 答案 (1)A (2) 3 热点二 正弦定理与余弦定理 考法 1 利用正(余)弦定理进行边角计算 【例 21】 (2018潍坊一模)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知(a2c)cos Bbcos A0. (1)求 B; (2)若 b3,ABC 的周长为 32,
10、求ABC 的面积.3 解 (1)由已知及正弦定理得 (sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0, (sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0, sin(AB)2sin Ccos B0, 又 sin(AB)sin C,且 C(0,),sin C0, cos B ,0B,B . 1 2 2 3 (2)由余弦定理,得 9a2c22accos B. a2c2ac9,则(ac)2ac9. abc32,ac2,33 ac3,SABC acsin B 3. 1 2 1 2 3 2 3 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【迁移探究 1】 若本题第(2
11、)问条件变为“若 b3,SABC”,试求 ac 的值. 3 3 4 解 由 SABC acsin B, 1 2 3 3 4 ac,则 ac3. 1 2 3 2 3 3 4 由余弦定理,得 b2a2c22accos B(ac)2ac, 所以(ac)2b2ac9312,故 ac2 . 3 【迁移探究2】 在第(2)问中, 保留条件b3, 删去 “条件ABC的周长为32”,3 试求ABC 面积的最大值. 解 由 b2a2c22accos Ba2c2ac, 则 9a2c2ac2acacac, 所以 ac9(当且仅当 ac3 时,取等号), 故 SABC acsin B 9sin, 1 2 1 2 2
12、3 9 3 4 所以ABC 面积的最大值为. 9 3 4 探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等 基本计算,或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形. 2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三 角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统 一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口. 【训练 2】 (2017全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 sin(AC)8sin2. B 2 (1)求 cos B; (2)若 ac6,ABC 面积为 2,求 b. 解
13、 (1)由题设及 ABC,得 sin B8sin2, B 2 故 sin B4(1cos B). 上式两边平方,整理得 17cos2B32cos B150, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得 cos B1(舍去),cos B. 15 17 (2)由 cos B及 B 为三角形一内角,得 sin B, 15 17 8 17 故 SABC acsin Bac. 1 2 4 17 又 SABC2,则 ac. 17 2 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accos B(ac)22ac (1cos B) 3624. 17 2 (1 15 17) 所以 b2. 考法 2 应用正、余弦
14、定理解决实际问题 【例 22】 (2018衡水质检)某气象仪器研究所按以下方 案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处(点 C 在水平地面下方,O 为 CH 与水平地面ABO的交点) 进行该仪器的垂直弹射, 水平地面上两个观察点A, B两地相 距100 米,BAC60,其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.A 地测得 该仪器在 C 处的俯角为OAC15, A 地测得最高点 H 的仰角为HAO30, 则该仪器的垂直弹射高度 CH 为( ) A.210()米 B.140米626 C.210米 D.20()米262 解析 由题意, 设 ACx 米, 则 BC(
15、x40)米, 在ABC 内, 由余弦定理 : BC2 BA2CA22BACAcosBAC,即(x40)2x210 000100x,解得 x420(米). 在ACH 中,AC420 米,CAH301545,CHA903060, 由正弦定理:.可得 CHAC140(米). CH sinCAH AC sinAHC sinCAH sinAHC 6 答案 B 探究提高 1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形 中,可用正弦定理或余弦定理求解. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时 需作出这些三角形,先解够
16、条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设 出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 【训练 3】 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在 西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD_m. 解析 由题意, 在ABC 中, BAC30, ABC18075105, 故ACB 45. 又 AB600 m,故由正弦定理得, 600 sin 45 BC sin 30 解得 BC300(m).2 在 RtBCD 中,CDBCtan 3030010
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