2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题三立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 空间点、线、面的位置关系讲 空间点、线、面的位置关系 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、 线、 面位置关系的判断, 主要以选择、 填空题的形式,题目难度较小;2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明, 并常与几何体的表面积、体积相渗透. 真 题 感 悟 1.(2017全国卷)如图, 在下列四个正方体中, A, B 为正方体的两个顶点, M, N, Q为所在棱的中点, 则在这四个正方体中, 直线AB与平面MNQ不平行的是( ) 解析 法一 对于选项 B,如图(1)所示,连接 CD,因为 ABCD,M,Q 分别 是所在棱的中点,所以
2、 MQCD,所以 ABMQ,又 AB平面 MNQ,MQ平 面 MNQ, 所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C, D 中均有 AB平面 MNQ.因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行. 图(1) 图(2) 法二 对于选项 A,其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示),连接 OQ,则 OQAB, 因为 OQ 与平面 MNQ 有交点, 所以 AB 与平面 MNQ 有交点, 即 AB 与平面 MNQ 不平行.A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 A 2.(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都
3、 相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. 3 3 4 2 3 3 C. D. 3 2 4 3 2 解析 如图,依题意,平面 与棱 BA,BC,BB1所在直线所 成角都相等,容易得到平面 AB1C 符合题意,进而所有平行 于平面 AB1C 的平面均符合题意. 由对称性,知过正方体 ABCDA1B1C1D1中心的平面面积应 取最大值, 此时截面为正六边形 EFGHIJ.正六边形 EFGHIJ 的边长为,将该正 2 2 六边形分成 6 个边长为的正三角形.故其面积为 6. 2 2 3 4( 2 2) 2 3 3 4 答案 A 3.(2017全国卷)如图,在四棱锥 PABCD 中
4、,ABCD,且BAP CDP90. (1)证明:平面 PAB平面 PAD; (2)若 PAPDABDC,APD90,且四棱锥 PABCD 的体积为 ,求该 8 3 四棱锥的侧面积. (1)证明 BAPCDP90, ABPA,CDPD. ABCD,ABPD. 又PAPDP,PA,PD平面 PAD, AB平面 PAD. AB平面 PAB, 平面 PAB平面 PAD. (2)解 取 AD 的中点 E, 连接 PE. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 PAPD,PEAD. 由(1)知, AB平面 PAD, PE平面 PAD, 故 ABPE, 又 ABADA, 可得 PE 平面 ABCD. 设
5、 ABx,则由已知可得 ADx,PEx,2 2 2 故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD ABADPE x3. 1 3 1 3 由题设得 x3 ,故 x2. 1 3 8 3 从而 PAPDABDC2,ADBC2,PBPC2,22 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 考 点 整 合 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a,b,aba. (2)线面平行的性质定理:a,a,bab. (3)面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b. (4)面面平行的性质定理:,a,bab. 2.
6、直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl. (2)线面垂直的性质定理:a,bab. (3)面面垂直的判定定理:a,a. (4)面面垂直的性质定理:,l,a,ala. 热点一 空间点、线、面位置关系的判定 【例 1】 (2018成都诊断)已知 m,n 是空间中两条不同的直线, 是两个不 同的平面,且 m,n.有下列命题: 若 ,则 mn; 若 ,则 m; 若 l,且 ml,nl,则 ; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若 l,且 ml,mn,则 . 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 若 ,则 mn 或 m,n
7、异面,不正确; 若 ,根据平面与平面平行的性质,可得 m,正确; 若 l,且 ml,nl,则 与 不一定垂直,不正确; 若 l,且 ml,mn,l 与 n 不一定相交,不能推出 ,不正确. 答案 B 探究提高 1.判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理 进行判断. (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关 系,结合有关定理,进行肯定或否定. 2.两点注意:(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中;(2)当从正面入手 较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判
8、断. 【训练 1】 (1)(2018石家庄调研)如图,在三棱台 ABC A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面, 设平面ABCl, 若 lA1C1,则这 3 个点可以是( ) A.B,C,A1 B.B1,C1,A C.A1,B1,C D.A1,B,C1 (2)(2018菏泽模拟)已知 m,n 是两条不同的直线, 是三个不同的平面, 则下列正确的是( ) A.若 m,n,则 mn B.若 ,则 C.若 m,n,则 D.若 m,n,则 mn 解析 (1)在棱台中,ACA1C1,lA1C1,则 lAC 或 l 为直线 AC.因此平面 可以过点 A1,B,C1,选项 D 正确. (2)结合长方体模型
9、, 易判定选项 A, B, C 不正确.由线面垂直的性质, 当 m, n 时,有 mn,D 项正确. 答案 (1)D (2)D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 热点二 空间平行、垂直关系的证明 【例2】 如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB, 平面PAD底面 ABCD,PAAD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的 中点,求证: (1)PA底面 ABCD; (2)BE平面 PAD; (3)平面 BEF平面 PCD. 证明 (1)平面 PAD底面 ABCD, 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,PA平面 PAD, PA底面 ABCD. (2)ABCD,CD
10、2AB,E 为 CD 的中点, ABDE,且 ABDE. 四边形 ABED 为平行四边形. BEAD. 又BE平面 PAD,AD平面 PAD, BE平面 PAD. (3)ABAD,而且 ABED 为平行四边形. BECD,ADCD, 由(1)知 PA底面 ABCD,且 CD平面 ABCD, PACD,且 PAADA,PA,AD平面 PAD, CD平面 PAD,又 PD平面 PAD, CDPD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,PDEF. CDEF,又 BECD 且 EFBEE, CD平面 BEF,又 CD平面 PCD, 平面 BEF平面 PCD. 【迁移探究 1】 在本例条件下,证
11、明平面 BEF平面 ABCD. 证明 如图,连接 AC,设 ACBEO,连接 FO,AE. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ABCD,CD2AB,CE CD, 1 2 AB 綉 CE. 四边形 ABCE 为平行四边形. O 为 AC 的中点,又 F 为 PC 的中点,则 FOPA,又 PA平面 ABCD, FO平面 ABCD.又 FO平面 BEF, 平面 BEF平面 ABCD. 【迁移探究 2】 在本例条件下,若 ABBC,求证:BE平面 PAC. 证明 连接 AC,设 ACBEO. ABCD,CD2AB,且 E 为 CD 的中点. AB 綉 CE.又ABBC, 四边形 ABCE
12、为菱形,BEAC. 又PA平面 ABCD,又 BE平面 ABCD,PABE, 又 PAACA,PA,AC平面 PAC, BE平面 PAC. 探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直. 【训练 2】 (2018北京卷)如图,在四棱锥 PABCD 中, 底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD, E, F分别为AD, PB 的中点. (1)求证:PEBC;
13、 (2)求证:平面 PAB平面 PCD; (3)求证:EF平面 PCD. 证明 (1)因为 PAPD,E 为 AD 的中点, 所以 PEAD. 因为底面 ABCD 为矩形, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 BCAD.所以 PEBC. (2)因为底面 ABCD 为矩形,所以 ABAD. 又因为平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,AB平面 ABCD, 所以 AB平面 PAD,且 PD平面 PAD. 所以 ABPD. 又因为 PAPD,且 PAABA, 所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PCD, 所以平面 PAB平面 PCD. (3)如图,取 PC 中点
14、 G,连接 FG,DG. 因为 F,G 分别为 PB,PC 的中点, 所以 FGBC,FG BC. 1 2 因为 ABCD 为矩形,且 E 为 AD 的中点, 所以 DEBC,DE BC. 1 2 所以 DEFG,DEFG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 所以 EFDG. 又因为 EF平面 PCD,DG平面 PCD, 所以 EF平面 PCD. 热点三 平面图形中的折叠问题 【例3】 (2016全国卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD, CD 上,AECF, EF 交 BD 于 点 H,将 DEF 沿 EF 折到DEF 的位置. (1)证明:AC
15、HD; (2)若 AB5,AC6,AE ,OD2,求五棱锥 DABCFE 的体积. 5 4 2 (1)证明 由已知得 ACBD,ADCD, 又由 AECF 得,故 ACEF, AE AD CF CD 由此得 EFHD,故 EFHD,所以 ACHD. (2)解 由 EFAC 得 . OH DO AE AD 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由 AB5,AC6 得 DOBO4,AB2AO2 所以 OH1,DHDH3, 于是 OD2OH2(2)2129DH2,2 故 ODOH. 由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHDH, 所以 AC平面 BHD,于是 ACOD, 又由 ODO
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