2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题二数列 第1讲 等差数列与等比数列 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 1 讲 等差数列与等比数列讲 等差数列与等比数列 高考定位 1.等差、 等比数列基本运算和性质的考查是高考热点, 经常以选择题、 填空题的形式出现;2.数列的通项也是高考热点,常在解答题中的第(1)问出现, 难度中档以下. 真 题 感 悟 1.(2017全国卷)等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数 列,则an前 6 项的和为( ) A.24 B.3 C.3 D.8 解析 根据题意得 a a2a6,即(a12d)2(a1d)(a15d),由 a11 及 d0 解 2 3 得 d2,所以 S66a1d16(2)24.
2、 6 5 2 6 5 2 答案 A 2.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计 算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音 程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它 的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为 f, 则第八个单音的频 12 2 率为( ) A.f B.f 3 2 3 22 C.f D.f 12 25 12 27 解析 从第二个单音起, 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ,第一个单音的频率为 f.由等比数列的定义知,这十三个单音的频率构成一个 12 2 首项为
3、f,公比为的等比数列,记为an.则第八个单音频率为 a8f()81 12 2 12 2 f. 12 27 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 D 3.(2018全国卷)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn2an1,则 S6_. 解析 因为 Sn2an1,所以当 n1 时,a12a11,解得 a11, 当 n2 时,anSnSn12an1(2an11),所以 an2an1,所以数列an 是以1为首项, 2为公比的等比数列, 所以an2n1, 所以S6 1 (126) 12 63. 答案 63 4.(2018全国卷)等比数列an中,a11,a54a3. (1)求an的通项公式;
4、 (2)记 Sn为an的前 n 项和.若 Sm63,求 m. 解 (1)设an的公比为 q,由题设得 anqn1. 由已知得 q44q2,解得 q0(舍去),q2 或 q2. 故 an(2)n1或 an2n1. (2)若 an(2)n1,则 Sn. 1(2)n 3 由 Sm63 得(2)m188,此方程没有正整数解. 若 an2n1,则 Sn2n1. 由 Sm63 得 2m64,解得 m6. 综上,m6. 考 点 整 合 1.等差数列 (1)通项公式:ana1(n1)d; (2)求和公式:Snna1d; n(a1an) 2 n(n1) 2 (3)性质: 若 m,n,p,qN*,且 mnpq,则
5、 amanapaq; anam(nm)d; Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式:ana1qn1(q0); 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)求和公式:q1,Snna1;q1,Sn; a1(1qn) 1q a1anq 1q (3)性质: 若 m,n,p,qN*,且 mnpq,则 amanapaq; anamqnm; Sm,S2mSm,S3mS2m,(Sm0)成等比数列. 温馨提醒 应用公式 anSnSn1时一定注意条件 n2,nN*. 热点一 等差、等比数列的基本运算 【例 1】 (1)(2018潍坊三模)已知an为等比数列,数列bn满足
6、b12,b25, 且 an(bn1bn)an1,则数列bn的前 n 项和为( ) A.3n1 B.3n1 C. D. 3n2n 2 3n2n 2 解析 由 b12,b25,且 an(bn1bn)an1. an的公比 qb2b13. a2 a1 从而 bn1bn3,则数列bn是首项为 2,公差为 3 的等差数列. 因此bn的前 n 项和 Tn2n3 (3n2n). n(n1) 2 1 2 答案 C (2)(2018全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,已知 a17,S315. 求an的通项公式; 求 Sn,并求 Sn的最小值. 解 设an的公差为 d,由题意得 3a13d15. 由 a1
7、7 得 d2. 所以an的通项公式为 an2n9. 由得 Snn28n(n4)216. 所以当 n4 时,Sn取得最小值,最小值为16. 探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径: (1)设基本量 a1和公差 d(公比 q). (2)列、解方程组:把条件转化为关于 a1和 d(q)的方程(组),然后求解,注意整体 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 计算,以减少运算量. 2.第(2)题求出基本量 a1与公差 d,进而由等差数列前 n 项和公式将结论表示成“n” 的函数,求出最小值. 【训练 1】 (1)(2018郑州调研)已知等差数列an的公差为 2,a2,a3,a6成等比 数列
8、,则an的前 n 项和 Sn( ) A.n(n2) B.n(n1) C.n(n1) D.n(n2) 解析 依题意 a a2a6,得(a14)2(a12)(a110).解得 a11. 2 3 因此 Snna12n22n. n(n1) 2 答案 A (2)(2017全国卷)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn, 等比数列bn的前 n 项和 为 Tn,a11,b11,a2b22. 若 a3b35,求bn的通项公式; 若 T321,求 S3. 解 设an公差为 d,bn公比为 q, 由题设得1dq2, 12dq25) 解得或(舍去), d1, q2) d3, q0) 故bn的通项公式为 bn2n1.
9、 由已知得1dq2, 1qq221,) 解得或 q4, d1) q5, d8.) 当 d1 时,S36;当 d8 时,S321. 热点二 等差(比)数列的性质 【例 2】 (1)(2018石家庄调研)在等比数列an中,a6,a10是方程 x26x20 的两个实数根,则 a8的值为( ) A.2 B.或22 C. D.22 (2)(2018北京海淀区质检)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn2an2,若 数列bn满足 bn10log2an,则使数列bn的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _. 解析 (1)由题意 a6a102,且 a6a
10、106,所以 a60, S a 2 n2n1 Sn1,其中 为常数. (1)证明:Sn12Sn; (2)是否存在实数 ,使得数列an为等比数列,若存在,求出 ;若不存在,请 说明理由. (1)证明 an1Sn1Sn,S aSn1, 2 n2n1 S (Sn1Sn)2Sn1, 2 n 则 Sn1(Sn12Sn)0. an0,知 Sn10,Sn12Sn0, 故 Sn12Sn. (2)解 由(1)知,Sn12Sn, 当 n2 时,Sn2Sn1, 两式相减,an12an(n2,nN*), 所以数列an从第二项起成等比数列,且公比 q2. 又 S22S1,即 a2a12a1, a2a110,得 1. 因
11、此 an 1,n1, (1)2n2,n 2.) 若数列an是等比数列,则 a212a12. 1,经验证得 1 时,数列an是等比数列. 【迁移探究】 若本例中条件“a11”改为“a12”其它条件不变,试求解第(2)问. 解 由本例(2),得 an12an(n2,nN*). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 S22S1,a2a120. an(2)2n2(n2). 又 a12,若an是等比数列, a2(2)202a14,2. 故存在 2,此时 an2n,数列an是等比数列. 探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法:(1)定义法:对于任意 n1,nN*, 验证 an1an为与正整数
12、 n 无关的一常数;(2)中项公式法. (或 an1 an) 2.q 和 a an1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件,判 an1 an 2 n 定时还要看各项是否为零. 【训练 3】 (2017全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.已知 S22,S3 6. (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列. 解 (1)设an的公比为 q,由题设可得 解得 a1(1q)2, a1(1qq2)6,) q2, a12.) 故an的通项公式为 an(2)n. (2)由(1)得 Sn a1(1qn) 1q 21(2)n 1(2) (2)n1
13、, 2 3 则 Sn1 (2)n11,Sn2 (2)n21, 2 3 2 3 所以 Sn1Sn2 (2)n11 (2)n21 2(2)n2 (2)n1 2 3 2 3 2 3 4 3 2Sn, Sn1,Sn,Sn2成等差数列. 热点四 等差数列与等比数列的综合问题 【例 4】 (2018天津卷)设an是等差数列,其前 n 项和为 Sn(nN*);bn是等 比数列, 公比大于0, 其前n项和为Tn(nN*).已知b11, b3b22, b4a3a5, b5 a42a6. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求 Sn和 Tn; (2)若 Sn(T1T2Tn)an4bn,求正整数 n
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