2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题五解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线讲 椭圆、双曲线、抛物线 高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或 解答题的一问的形式命题;2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是 有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归 与分类讨论思想方法的考查. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程 x2 a2 y2 b2 3 为( ) A.yx B.yx23 C.yx D.yx 2 2 3 2 解析 法一 由题意知,e ,所以 ca,所以 ba,即 c a
2、 33c2a22 b a ,所以该双曲线的渐近线方程为 y xx.2 b a 2 法二 由 e , 得 , 所以该双曲线的渐近线方程为 y x c a 1(b a) 2 3 b a 2 b a x.2 答案 A 2.(2018全国卷)设抛物线 C: y24x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为 的直 2 3 线与 C 交于 M,N 两点,则( )FM FN A.5 B.6 C.7 D.8 解析 过点(2, 0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2), 由得 x2 2 3 2 3 y2 3(x2), y24x, ) 5x40.设 M(x1, y1), N(x2, y2), 则 y10, y20
3、, 根据根与系数的关系, 得 x1x2 5, x1x24.易知F(1, 0), 所以(x11, y1),(x21, y2), 所以(x1FM FN FM FN 1)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.x1x2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 D 3.(2018全国卷)已知 F1, F2是椭圆 C:1(ab0)的左、 右焦点, A 是 C x2 a2 y2 b2 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为的直线上, PF1F2为等腰三角形, F1F2P 3 6 120,则 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 2 3 1 2 1 3 1 4 解析 由题意可
4、知椭圆的焦点在 x 轴上, 如图所示, 设|F1F2| 2c,PF1F2为等腰三角形,且F1F2P120, |PF2|F1F2|2c. |OF2|c, 过P作PE垂直x轴, 则PF2E60, 所以F2E c, PEc, 即点 P(2c,c).点 P 在过点 A, 且斜率为的直线上, 33 3 6 3c 2ca ,解得 ,e . 3 6 c a 1 4 1 4 答案 D 4.(2018全国卷)设椭圆C: y21的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A, B x2 2 两点,点 M 的坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:OMAO
5、MB. (1)解 由已知得 F(1,0),l 的方程为 x1. 把 x1 代入椭圆方程 y21,可得点 A 的坐标为或. x2 2(1, 2 2) (1, 2 2) 又 M(2,0),所以 AM 的方程为 yx或 yx. 2 2 2 2 2 2 (2)证明 当 l 与 x 轴重合时,OMAOMB0. 当 l 与 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线, 所以OMAOMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时, 设 l 的方程为 yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x10, b0)的渐近线方程为 y x; 焦点坐标 F1(c, 0), F2(c, x2 a2 y2
6、 b2 b a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 0). 双曲线1(a0, b0)的渐近线方程为 y x, 焦点坐标 F1(0, c), F2(0, y2 a2 x2 b2 a b c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦点 F,准线方程 x . ( p 2,0) p 2 抛物线 x22py(p0)的焦点 F,准线方程 y . (0, p 2) p 2 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为 k,直线与圆锥曲 线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|x1x2|.1k21k2 (
7、x 1x2)24x1x2 (2)过抛物线焦点的弦长 抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB, 若 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 x1x2, y1y2 p2 4 p2,弦长|AB|x1x2p. 热点一 圆锥曲线的定义及标准方程 【例 1】 (1)(2018天津卷)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为 2,过右 x2 a2 y2 b2 焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐 近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1d26,则双曲线的方程为( ) A. 1 B. 1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C. 1 D.
8、1 x2 3 y2 9 x2 9 y2 3 (2)(2018烟台二模)已知抛物线 C:x24y 的焦点为 F,M 是抛物线 C 上一点, 若 FM 的延长线交 x 轴的正半轴于点 N, 交抛物线 C 的准线 l 于点 T, 且,FM MN 则|NT|_. 解析 (1)由 d1d26,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3,所以 b3.因为 双曲线1(a0, b0)的离心率为 2, 所以 2, 所以4, 所以 x2 a2 y2 b2 c a a2b2 a2 a29 a2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4,解得 a23,所以双曲线的方程为 1. x2 3 y2 9 (2)由 x24y,
9、知 F(0,1),准线 l:y1. 设点 M(x0,y0),且 x00,y00. 由, 知点 M 是线段 FN 的中点, N 是 FT 中点,FM MN 利用抛物线定义,|MF|MM|y01,且|FF|2|NN|2.又 2(y01)|FF| |NN|3,知 y0 .|MF| 1 ,从而|NT|FN|2|MF|3. 1 2 1 2 3 2 答案 (1)C (2)3 探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线的距 离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化,使解答简捷、明快. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确 定类型,所谓
10、“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值,最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 【训练 1】 (1)(2017全国卷)已知双曲线 C:1(a0,b0)的一条渐近 x2 a2 y2 b2 线方程为 yx,且与椭圆 1 有公共焦点,则 C 的方程为( ) 5 2 x2 12 y2 3 A. 1 B. 1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C. 1 D. 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 (2)(2018衡水中学调研)P 为椭圆 C: y21 上一动点,F1,F2分别为左、右 x2 2 焦点, 延长 F1P 至点 Q, 使得|PQ|PF2|, 记动
11、点 Q 的轨迹为 , 设点 B 为椭圆 C 短轴上一顶点,直线 BF2与 交于 M,N 两点,则|MN|_. 解析 (1)由题设知 , b a 5 2 又由椭圆 1 与双曲线有公共焦点, x2 12 y2 3 易知 a2b2c29, 由解得 a2,b,则双曲线 C 的方程为 1.5 x2 4 y2 5 (2)|PF1|PF2|2a2,且|PQ|PF2|,2 |F1Q|F1P|PF2|2 . 2 为以 F1(1,0)为圆心,2为半径的圆.2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |BF1|BF2|,|F1F2|2,BF1BF2,2 故|MN|222.|F1M|2|BF1|2(2 2)2(
12、2)26 答案 (1)B (2)2 6 热点二 圆锥曲线的几何性质 【例 2】 (1)(2018全国卷)已知双曲线 C:1(a0, b0)的离心率为, x2 a2 y2 b2 2 则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( ) A. B.2 C. D.22 3 2 2 2 (2)(2018北京卷改编)已知椭圆 M:1(ab0),双曲线 N:1.若 x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 n2 双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六 边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为_. 解析 (1)法一 由离心率 e ,得 ca,又 b2c2a2,得 ba,所以 c
13、a 22 双曲线 C 的渐近线方程为 yx.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到 C 的渐近 线的距离为2. 4 11 2 法二 离心率 e的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是 yx,点(4,0)2 到 C 的渐近线的距离为2. 4 11 2 (2)设椭圆的右焦点为 F(c,0),双曲线 N 的渐近线与 椭圆 M 在第一象限内的交点为 A, 由题意可知 A, ( c 2, 3c 2) 由点 A 在椭圆 M 上得,1, b2c23a2c2 c2 4a2 3c2 4b2 4a2b2,b2a2c2,(a2c2)c23a2c24a2(a2c2), 则 4a48a2c2c40, e48e2 40,e2
14、42(舍),e242.由 0b0)的左、右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1, F2, 点 E(0, t)(00)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长 交 C 于点 H. (1)求; |OH| |ON| (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 解 (1)如图,由已知得 M(0,t),P, ( t2 2p ,t ) 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N, ( t2 p ,t ) 故直线 ON 的方程为 y x, p t 将其代入 y22px 整理得 px22t2x0, 解得 x10,x2,因此 H. 2t2 p ( 2t2 p
15、,2t) 所以 N 为 OH 的中点,即2. |OH| |ON| (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点,理由如下: 直线 MH 的方程为 yt x,即 x (yt). p 2t 2t p 代入 y22px 得 y24ty4t20, 解得 y1y22t, 即直线 MH 与 C 只有一个公共点, 所以除 H 以外,直线 MH 与 C 没有其它公共点. 探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点 N,H 的坐标.而第(2)问的关键是将 直线 MH 的方程与曲线 C 联立,根据方程组的解的个数进行判断. 2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也 可利用
16、消元后的一元二次方程的判别式来确定, 需注意利用判别式的前提是二次 项系数不为 0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、 整体代换的技巧. 【训练3】 (2018潍坊三模)已知M为圆O: x2y21上一动 点,过点M作x轴,y 轴的垂线,垂足分别为 A, B, 连接 BA 延长 至点 P,使得 |PA|2, 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)直线 l: ykxm 与圆 O 相切,且与曲线 C 交于 D,E 两点,直线 l1平行于 l 且与曲线 C 相切于点 Q(O,Q 位于 l 两侧), ,求 k 的值. S O
17、DE S QDE 2 3 解 (1)设 P(x,y),A(x0,0),B(0,y0),则 M(x0,y0)且 x y 1, 2 02 0 由题意知 OAMB 为矩形,|AB|OM|1, 2,即(xx0,y)2(x0,y0),AP BA x0 ,y0,则 1, x 3 y 2 x2 9 y2 4 故曲线 C 的方程为 1. x2 9 y2 4 (2)设 l1:ykxn,l 与圆 O 相切, 圆心 O 到 l 的距离 d11,得 m2k21, |m| k21 l1与 l 距离 d2, |mn| k21 , S ODE S QDE 1 2|DE|d 1 1 2|DE|d 2 d1 d2 |m| |m
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