2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题八 第2讲 函数与方程、数形结合思想 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 函数与方程、数形结合思想讲 函数与方程、数形结合思想 数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点,描述两个量 之间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数学问题时,抛开一些非数 学特征,抽象出数量特征,建立明确的函数关系,并运用函数的知识和方法解决 问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系,列出方程(组),进而通过解 方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想, 就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想. 数形结合思想的应用包括以下两个方面 :
2、(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题 直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数 定形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 热点一 函数与方程思想 应用 1 求解不等式、函数零点的问题 【例 1】 (1)设 00, 则 f(x)ex10, f(x)在(0,)上是增函数,且 f(0)0,f(x)0, ex1x,即 ea1a. 又 yax(0ae, 从而 ea1aae. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)令 h(x)g(x),得 xln x1kx,即 ln xk. 1 x 令函数 f(x)ln x ,若方程 xln xkx10 在区间上有两个不等
3、实根, 1 x 1 e,e 则函数 f(x)ln x 与 yk 在区间上有两个不相同的交点,f(x) , 1 x 1 e,e 1 x 1 x2 令 0 可得 x1,当 x时 f(x)0, 函数是增函数, 函数的极小值, 也是最小值为 f(1)1, 而 f 1e, ( 1 e) f(e)1 ,又1e1 ,所以,函数的最大值为 e1.所以关于 x 的方程 xln 1 e 1 e xkx10 在区间上有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是. 1 e,e (1,1 1 e 答案 (1)B (2)B 探究提高 1.第(1)题构造函数,转化为判定函数值的大小,利用函数的单调性与 不等式的性质求解. 2.
4、函数方程思想求解方程的根或图象交点问题 (1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数思想把方 程根的问题转化为函数零点问题. (2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练 1】 (1)设函数 f(x) cos x,则方程 f(x) 所有实根的和为( ) x 2 4 A.0 B.C. D. 4 2 3 2 (2)(2018石家庄质检)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x) log2(1x),若 f(a21)0 恒成立, 1 x 1 x2 f(x)在1,)上是增函数, 当 x1 时,f(x)minf(1)3, 即当 n
5、1 时,(bn)max . 1 6 要使对任意的正整数 n,不等式 bnk 恒成立, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则须使 k(bn)max ,实数 k 的最小值为 . 1 6 1 6 探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用,第(2)问利用裂项相消求 bn, 构造函数,利用单调性求 bn的最大值. 2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式与前 n 项和公式即为相应的解析式,因此解决数列最值(范围)问题的方法如下:(1)由其 表达式判断单调性,求出最值;(2)由表达式不易判断单调性时,借助 an1an 的正负判断其单调性. 【训练 2】 (2018
6、东北三省四校二模)已知等差数列an的公差 d1,等比数列 bn的公比 q2,若 1 是 a1,b1的等比中项,设向量 a(a1,a2),b(b1,b2), 且 ab5. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设 cn2anlog2bn,求数列cn的前 n 项和 Tn. 解 (1)依题设,a1b11,且 ab5. 即 a1b11, a1b1a2b25,) a1b11, a1b1(a11)2b15.) 解之得a 11, b11.) 数列an的公差为 d1,bn的公比 q2, 所以 ann,bn2n1(nN*). (2)cn2anlog2bn2nlog22n1(n1)2n(nN), Tnc1c2
7、cn22223324(n1)2n, 2Tn23224325(n1)2n1, 两式相减得, Tn2223242n(n1)2n1, (n1)2n14(2n)2n1, 222n 2 12 Tn(n2)2n14(nN*). 应用 3 函数与方程思想在几何问题中的应用 【例 3】 设椭圆中心在坐标原点, A(2, 0), B(0, 1)是它的两个顶点, 直线 ykx(k 0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E,F 两点. (1)若6,求 k 的值;ED DF 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 解 (1)依题意得椭圆的方程为 y21, 直线 AB,
8、 EF 的方程分 x2 4 别为 x2y2, ykx(k0). 如图, 设 D(x0, kx0), E(x1, kx1), F(x2, kx2), 其中 x1x2, 且 x1, x2满 足方程(14k2)x24, 故 x2x1. 2 14k2 由6知 x0x16(x2x0),ED DF 得 x0 (6x2x1) x2; 1 7 5 7 10 7 14k2 由 D 在 AB 上知 x02kx02, 得 x0.所以, 2 12k 2 12k 10 7 14k2 化简得 24k225k60,解得 k 或 k . 2 3 3 8 (2)根据点到直线的距离公式和式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为
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