2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题六函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位 利用导数研究函数的性质, 能进行简单的定积分计算, 以含指数函数、 对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决简 单的问题. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 yf(x) 在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y2x B.yx C.y2x D.yx 解析 因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数, 所以f(x)f(x), 可得a1, 所以 f(x)x3
2、x,所以 f(x)3x21,所以 f(0)1,所以曲线 yf(x)在点(0,0) 处的切线方程为 yx. 答案 D 2.(2017全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则 f(x)的极 小值为( ) A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 解析 f(x)x2(a2)xa1ex1, 则 f(2)42(a2)a1e30a1, 则 f(x)(x2x1)ex1,f(x)(x2x2)ex1, 令 f(x)0,得 x2 或 x1, 当 x1 时,f(x)0;当2x1,设 tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2),试 证明 t0. (1)解 f(x)的定义域为(0,), f(x)
3、 1 . 1 x2 a x x2ax1 x2 ()若 a2,则 f(x)0, 当且仅当 a2,x1 时 f(x)0, 所以 f(x)在(0,)上单调递减. ()若 a2,令 f(x)0 得, x或 x. a a2 4 2 a a2 4 2 当 x时,f(x)0. ( a a2 4 2 ,a a 24 2 ) 所以 f(x)在,上单调递减, (0, a a2 4 2 ) ( a a2 4 2 ,) 在上单调递增. ( a a2 4 2 ,a a 24 2 ) (2)证明 由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当 a2. 由于 f(x)的两个极值点 x1,x2满足 x2ax10, 所以 x1
4、x21. 又x2x10,所以 x21. 又 tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2) (x1x2)a(ln x1ln x2)(a2)(x1x2) 1 x1 1 x2 aa. (ln x1 x2x 1x2) ( 1 x22ln x 2x2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 (x) x2ln x,x1. 1 x 由第(1)问知,(x)在(1,)单调递减,且 (1)0, 从而当 x(1,)时,(x)0. 1 x2 考 点 整 合 1.导数的几何意义 函数 f(x) 在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线 f(x)在 点 P 处的切线的斜率 k
5、f(x0),相应的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). 易错提醒 求曲线的切线方程时,要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线, 前者点 P 为切点,后者点 P 不一定为切点. 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)cos x; (2)(cos x)sin x; (3)(ax)axln a(a0,且 a1); (4)(logax)(a0,且 a1,x0). 1 xln a 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)x3在(,)上单 调递增,但 f(x)0. f(x)0 是 f(x)为增函数
6、的必要不充分条件, 如果函数在某个区间内恒有 f(x) 0 时,则 f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. 若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或 f(x)0,右侧 f(x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. (2)设函数 yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在a,b上必有最大值 和最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在, 某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要 而不充分条件. 热点一 导数与定积分的几何意义 【例 1】 (1)(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数,当 x
7、0 时,f(x)ln(x)3x, 则曲线 yf(x)在点(1,3)处的切线方程是_. (2)(2018邯郸调研)展开式的中间项系数为 20, 如图阴影部 (x 2 a 2x) 6 分是由曲线yx2和圆x2y2a及x轴围成的封闭图形,则封闭图 形的面积 S_. 解析 (1)令 x0,则x0),则 f(x) 3(x0). 1 x f(1)2, 在点(1,3)处的切线方程为 y32(x1), 即 2xy10. (2)因为展开式的中间项系数为 20, 中间项为第四项, 系数为 C20, (x 2 a 2x) 6 3 6(a 2) 3 解得 a2, 所以曲线 yx2和圆 x2y22 在第一象限的交点为(
8、1,1),所以阴影部分的面积 为 (xx2)dx . 4 1 0 4 ( 1 2x 21 3x 3)|1 0) 4 1 6 答案 (1)2xy10 (2) 4 1 6 探究提高 1.利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率 之间的关系来进行转化,其中关键是确定切点的坐标. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形,结合图形位置,准确确定积分区间以及被积函数,从而 得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征,选择合适的积分变量.在以 y 为积分变量时,应注意将曲线 方程变为
9、x(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应 y 的取值. 【训练 1】 (1)(2018武汉调研)设曲线 y在点处的切线与直线 x 2cos x sin x ( 2,2) ay10 垂直,则 a_. (2)(2018成都质检)在平面直角坐标系内任取一个点 P(x,y)满足 则点 P 落在曲线 y 与直线 x2, y2 围成的阴 0 x 2, 0 y 2,) 1 x 影区域(如图所示)内的概率为_. 解析 (1)y(2cos x)sin x(2cos x)(sin x) sin2x , 则曲线 y在点处的切线的斜率为 k11.因为直线 x 12cos x sin2x 2cos x sin x (
10、 2,2) ay10 的斜率 k2 , 1 a 又该切线与直线 xay10 垂直, 所以 k1k21,解得 a1. (2)由解得 y2, y1 x,) x1 2, y2,) 所以阴影部分的面积为dx(2xln x)(22ln 2)3 2 (2 1 x) | 2 1 2) (2 1 2ln 1 2) 2ln 2,因此所求概率为. 32ln 2 2 2 32ln 2 4 答案 (1)1 (2)32ln 2 4 热点二 利用导数研究函数的单调性 考法 1 确定函数的单调性(区间) 【例 21】 (2017全国卷改编)已知函数 f(x)ex(exa)a2x,其中参数 a0. 高清试卷 下载可打印 高清
11、试卷 下载可打印 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)0,求 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(,),且 a0. f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若 a0,则 f(x)e2x,在(,)上单调递增. 若 a0. (ln( a 2),) 故 f(x)在上单调递减, (,ln( a 2) 在区间上单调递增. (ln( a 2),) 综上所述,当 a0 时,f(x)在 R 上单调递增; 当 aa2e 时,f(x)0. 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 综上,a 的取值范围是2e ,0. 3 4 考法 2 根据函数的单调性求参数的取
12、值范围 【例 22】 (2018广州质检)已知 x1 是 f(x)2x ln x 的一个极值点. b x (1)求函数 f(x)的单调递减区间. (2)设函数 g(x)f(x),若函数 g(x)在区间1,2内单调递增,求 a 的取值范 3a x 围. 解 (1)f(x)2x ln x,定义域(0,). b x f(x)2 . b x2 1 x 2x2xb x2 因为 x1 是 f(x)2x ln x 的一个极值点, b x 所以 f(1)0,即 2b10. 解得 b3,经检验,适合题意,所以 b3. 所以 f(x)2 , 3 x2 1 x 2x2x3 x2 令 f(x)0), 3a x a x
13、 g(x)2 (x0). 1 x a x2 因为函数 g(x)在1,2上单调递增, 所以 g(x)0 在1,2上恒成立, 即 2 0 在1,2上恒成立, 1 x a x2 所以 a2x2x 在1,2上恒成立, 所以 a(2x2x)max,x1,2. 因为在1,2上,(2x2x)max3,所以 a3. 所以 a 的取值范围是3,). 探究提高 1.求函数的单调区间, 只需在函数的定义域内解(证)不等式 f(x)0 或 f(x) ,则当 x时,f(x)0. 所以 f(x)在 x2 处取得极小值. 若 a ,则当 x(0,2)时,x20.所以 2 不是 f(x)的极小值点. 综上可知,a 的取值范围
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