2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题四概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 讲 概率、随机变量及其分布列讲 概率、随机变量及其分布列 高考定位 1.计数原理、 古典概型、 几何概型的考查多以选择或填空的形式命题, 中低档难度;2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立 事件等;对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”,多在解答 题的前三题的位置呈现,常考查独立事件的概率,超几何分布和二项分布的期望 等. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先 的成果.哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”, 如307 23.在不
2、超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是( ) A. B. C. D. 1 12 1 14 1 15 1 18 解析 不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共 10 个, 从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法, 其中两素数相加等于30的有7 2 10 和 23,11 和 19,13 和 17,共有 3 种情况,所以所求概率 P ,故选 C. 3 C 1 15 答案 C 2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的 几何图形.此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三 角形 ABC 的斜边 BC, 直角边
3、 AB, AC.ABC 的三边所围成的区 域记为, 黑色部分记为, 其余部分记为.在整个图形中随机取一点, 此点取 自,的概率分别记为 p1,p2,p3,则( ) A.p1p2 B.p1p3 C.p2p3 D.p1p2p3 解析 不妨设ABC 为等腰直角三角形, ABAC2, 则 BC2, 所以区域2 的面积即ABC的面积, 为S1 222, 区域的面积S3S12. 1 2 ( 2)2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 区域的面积为 S2S32.根据几何概型的概率计算公式,得 p1p2 ( 2 2) 2 ,p3,所以 p1p3,p2p3,p1p2p3,故选 A. 2 2 2 2
4、答案 A 3.(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付 用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从 这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检 验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(00,f(p)单调递增; 当 p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验. 考 点 整 合 1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式. P(A) . m n 事件A中所含的基本事件数 试验的基本事件总数 (2)几何概型的概率公式. P(A). 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全
5、部结果所构成的区域长度(面积或体积) (3)条件概率. 在 A 发生的条件下 B 发生的概率:P(B|A). P(AB) P(A) (4)相互独立事件同时发生的概率:若 A,B 相互独立,则 P(AB)P(A)P(B). (5)若事件 A,B 互斥,则 P(AB)P(A)P(B), P( )1P(A).A 2.独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率为 Pn(k)C pk(1p)nk,k0,1,2,n.用 X 表示事件 A 在 n k n 次独立重复试验中发生的次数, 则 X 服从二项分布, 即 XB(n, p
6、)且 P(Xk)C pk(1p)nk. k n 3.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中恰有 X 件次品, 则 P(Xk), k CC C 0,1,2,m,其中 mminM,n,且 nN,MN,n,M,NN*,此 时称随机变量 X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布 中的参数是 M,N,n. 4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量 的分布列为 x1x2x3xin Pp1p2p3pipn 离散型随机变量 的分布列具有两个性质:pi0; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 p1p2pipn1(i1,2,3,n). (2)
7、E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 的数学期望或均值. D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做 随机变量 的方差. (3)数学期望、方差的性质. E(ab)aE()b,D(ab)a2D(). XB(n,p),则 E(X)np,D(X)np(1p). X 服从两点分布,则 E(X)p,D(X)p(1p). 热点一 古典概型与几何概型 【例 1】 (1)(2018太原二模)某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中 有编号为 1,2,3,4,5 的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若 摸出的两球号码的乘积为奇数,则中奖;否则不中
8、奖.则中奖的概率为( ) A. B. C. D. 1 10 1 5 3 10 2 5 (2)(2018湖南师大附中联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的 图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成 变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照 太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被y3sin x的 4 图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为 1,现在大圆内 随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为_. 解析 (1)从 5 个球中, 任取两球有 C 10 种情况, 其中两球编号乘积为奇数有 C 2 5 3 种情况.所求事件的概率 P. 2 3 3
9、 10 (2)依题意, 大圆的直径为 y3sin x 的最小正周期 T8.大圆的面积 S 4 ( 8 2) 2 16.又一个小圆的面积 S012.故所求事件的概率 P . 2S0 S 2 16 1 8 答案 (1)C (2)1 8 探究提高 1.求古典概型的概率,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识,计数时要正确分类,做到不 重不漏. 2.计算几何概型的概率,构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是 关键,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 【训练 1】 (1)(2016全国卷)某
10、公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小 明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的, 则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( ) A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 3 4 (2)(2018郑州质检)现有大小形状完全相同的 4 个小球,其中红球有 2 个,白球 与蓝球各 1 个,将这 4 个小球任意排成一排,则中间 2 个小球不都是红球的概率 为( ) A. B. C. D. 1 6 1 3 5 6 2 3 解析 (1)如图所示,画出时间轴: 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 上,当他的到达时间落在线段 AC 或 DB
11、上时,才能保证他等车的时间不超过 10 分钟,根据几何概型所求概率 P . 1010 40 1 2 (2)设 “4 个小球排成一排, 中间 2 个小球不都是红球”为事件 A.则 表示事件 “中间 2A 个球都是红球”,易知 P( ) ,故 P(A)1P( ) .A A A 2 12 1 6 A 5 6 答案 (1)B (2)C 热点二 互斥事件、相互独立事件的概率 考法 1 互斥条件、条件概率 【例 21】 (2016全国卷选编)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买 该险种的投保人称为续保人, 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如 下: 上年度出险次数012345 高清试卷 下
12、载可打印 高清试卷 下载可打印 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数012345 概率0.300.150.200.200.100.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概 率. 解 (1)设 A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生 当且仅当一年内出险次数大于 1,故 P(A)0.200.200.100.050.55. (2)设 B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B
13、 发 生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 P(B)0.100.050.15. 又 P(AB)P(B), 故 P(B|A). P(AB) P(A) P(B) P(A) 0.15 0.55 3 11 因此所求概率为. 3 11 考法 2 相互独立事件与独立重复试验的概率 【例 22】 (2018衡水中学调研)多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建 设,纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个 片区中的一个片区设立分公司,且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能 的,每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司. 向雄安新区申请建立分公司的任意
14、4 家央企中, (1)求恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率; (2)用 X 表示这 4 家央企中在 “雄县”片区建立分公司的个数, 用 Y 表示在 “容城”或 “安 新”片区建立分公司的个数,记 |XY|,求 的分布列. 解 (1)法一 依题意,每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 ,去另外两 1 3 个片区建立分公司的概率为 ,这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公 2 3 司的概率为 PC. 2 4(1 3) 2 (1 1 3) 2 8 27 法二 所有可能的申请方式有 34种,恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下
15、载可打印 司的方式C 22种, 从而恰有2家央企在 “雄县”片区建立分公司的概率为P 2 4 C22 34 . 8 27 (2)由题意知,XB, (4, 1 3) 则 P(Xk)C(k0,1,2,3,4), k 4(1 3) k (1 1 3) 4k 随机变量 的所有可能取值为 0,2,4. P(0)P(X2), 8 27 P(2)P(X1)P(X3), 40 81 P(4)P(X0)P(X4). 17 81 所以随机变量 的分布列为 024 P 8 27 40 81 17 81 探究提高 1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件是能 转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转
16、化为几个相互独立事件同时发生 的积事件,然后用概率公式求解. 2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特征:在每次试验中,试验结果只有发生与 不发生两种情况;在每次试验中,事件发生的概率相同. (2)牢记公式 Pn(k)C pk(1p)nk,k0,1,2,n,并深刻理解其含义. k n 【训练 2】 (2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24, 16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人 做进一步的
17、身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学 期望; 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 事件 A 发生的概率. 解 (1)由题意得,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分 层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(Xk)(k0,1,2,3). CC C 则 P(X0) ,P(X1), C C 1 35 CC C 12 35 P(
18、X3) ,则 P(X2)1, C C 4 35 1 35 12 35 4 35 18 35 所以,随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 E(X)0123. 1 35 12 35 18 35 4 35 12 7 设事件 B 为 “抽取的 3 人中, 睡眠充足的员工有 1 人, 睡眠不足的员工有 2 人” ; 事件 C 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”, 则 ABC,且 B 与 C 互斥.由知,P(B)P(X2),P(C)P(X1), 故 P(A)P(BC)P(X2)P(X1) .
19、6 7 所以,事件 A 发生的概率为 . 6 7 热点三 随机变量的分布列、均值与方差 考法 1 超几何分布 【例 31】 (2018西安调研)4 月 23 日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了 一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从 高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取 10 名学生参加问卷调查.各组人数 统计如下: 小组甲乙丙丁 人数91263 (1)从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名,求这两名学生来自同一个小组 的概率; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)在参加问卷调查的 10 名学生中,从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽
20、取两 名,用 X 表示抽得甲组学生的人数,求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)由已知得,问卷调查中,从四个小组中抽取的人数分别为 3,4,2,1, 从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 C 45 种, 2 10 这两名学生来自同一小组的取法共有 C C C 10, 2 32 42 2 所以 P . 10 45 2 9 (2)由(1)知,在参加问卷调查的 10 名学生中,来自甲、丙两小组的学生人数分别 为 3,2. X 的可能取值为 0,1,2. 则 P(Xk)(k0,1,2). CC C P(X0) ,P(X1) , C C 1 10 CC C 3 5 P(X2) . C
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