2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题一 3 第3讲 导数的简单应用 学案 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 3 讲 导数的简单应用 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷函数的奇偶性、导数的几何意义T5 卷导数的几何意义T132018 卷导数的几何意义T14 卷 利用导数讨论函数的单调性、 函数的 零点T212017 卷利用导数求极值T11 卷导数与函数图象T7 函数的奇偶性、导数的几何意义T15 2016 卷 利用导数公式直接求导T21(1) 1.高考对导数的几何意义的考 查, 多在选择、 填空题中出现, 难度较小,有时出现在解答题 的第一问 2高考重点考查导数的应用, 即利用导数研究函数的单调 性、极值、最值问题,多在选 择、填空题的后几题中出现,
2、 难度中等,有时出现在解答题 的第一问 3近几年全国课标卷对定积 分及其应用的考查极少,题目 一般比较简单,但也不能忽略. 导数的运算及其几何意义(综合型) 导数的几何意义 函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线 f(x)在点 P 处 的切线的斜率 kf(x0),相应的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) 4 个易误导数公式 (1)(sin x)cos x. (2)(cos x)sin x. (3)(ax)axln a(a0 且 a1) (4)(loga x)(a0 且 a1) 1 xln a 典型例题 (1)若曲线 f(x)xsi
3、n x1 在点处的切线与直线 ax2y10 互相垂 ( 2 , 2 1) 直,则实数 a( ) A2 B2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C1 D1 (2)直线 l 与曲线 yex及 y x2都相切,则直线 l 的方程为_ 1 4 【解析】 (1)因为 f(x)xsin x1, 所以 f(x)sin xxcos x, 所以 fsin cos 1. ( 2) 2 2 2 因为直线 ax2y10 的斜率为 , a 2 所以 f 1, ( 2) a 2 解得 a2,故选 A. (2)设直线 l 与曲线 yex的切点为(x0,ex0),直线 l 与曲线 y x2的切点为, 1 4(x 1
4、,x 4) 因为 yex在点(x0,ex0)处的切线的斜率为 y|xx0ex0,y在点处的切线 x2 4(x 1,x 4) 的斜率为 y|Error!, xx1 xx1 x1 2 则 直 线 l 的 方 程 可 表 示 为 y ex0x x0ex0 ex0或 y x1xx , 所 以 1 2 1 4 2 1 e x0x 1 2 , x0e x0e x0 x 4,) 所以 ex01x0,解得 x00.所以直线 l 的方程为 yx1. 【答案】 (1)A (2)yx1 (1)求曲线 yf(x)的切线方程的 3 种类型及方法 已知切点 P(x0,y0),求切线方程 求出切线的斜率 f(x0),由点斜
5、式写出方程 已知切线的斜率 k,求切线方程 设切点 P(x0,y0),通过方程 kf(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程 已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 f(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程 (组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程 (2)两曲线 f(x),g(x)的公切线 l 的方程的求解关键 设点求切线,即分别设出两曲线的切点的坐标(x0,f(x0),(x1,g(x1),并分别求出两 曲线的切线方程 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 建立方程组,即利用两曲线的切线重合,则两切线的斜率及在 y 轴上的截距都分别相
6、等,得到关于参数 x0,x1的方程组,解方程组,求出参数 x0,x1的值 求切线方程,把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可 对点训练 1(一题多解)(2018高考全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数,则曲 线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 解析:选 D.法一:因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数,所以 f(x)f(x), 所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax,所以 2(a1)x20,因为 xR,所以 a1,所以 f(x)x3x,所以 f(x)3x21,所以 f(0)1,所以曲线
7、yf(x)在 点(0,0)处的切线方程为 yx.故选 D. 法二 : 因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数, 所以 f(1)f(1)0, 所以1a1 a(1a1a)0,解得 a1,所以 f(x)x3x,所以 f(x)3x21,所以 f(0)1,所以 曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx.故选 D. 2(2018合肥第一次质量检测)已知直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切(其中 e 为 自然对数的底数),则实数 a 的值是( ) A. B1 1 2 C2 De 解析:选 B.由题意知 yaex12,则 a0,xln a,代入曲线方程得 y1ln a, 所以切线方程
8、为 y(1ln a)2(xln a),即 y2xln a12x1a1. 利用导数研究函数的单调性(综合型) 导数与函数单调性的关系 (1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件, 如函数 f(x)x3在(, )上单调递增, 但 f(x)0. (2)f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件, 当函数在某个区间内恒有 f(x)0 时, 则 f(x)为常数,函数不具有单调性 典型例题 命题角度一 求函数的单调区间或判断函数的单调性 已知函数 f(x)ln(x1),且 11. x(x2a3) (x1)3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当10 时,f(x)0,f(x)单调
9、递增, 当 2a30,即 2a3 时,f(x)0,则 f(x)在(1,0),(2a3,)上单调递增 当 02 时,f(x)0,f(x)单调递增;当 10 时恒成立, 所以 a (x22x) (x1)2 恒成立 1 2 1 2 1 2 又 (x) (x1)2 ,x(0,)的最小值为 . 1 2 1 2 1 2 所以当 a 时,g(x)0 恒成立 1 2 又当 a ,g(x)当且仅当 x1 时,g(x)0. 1 2 (x1)2 x 故当 a时,g(x)f(x)ax 在(0,)上单调递增 (, 1 2 (1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f(x)0(或 f(x)0),x(a,b) 恒
10、成立, 解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解), 应注意参数的取值是 f(x) 不恒等于 0 的参数的范围 (2)若函数 yf(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为 f(x)0 在(a,b)上有解 对点训练 1若函数 f(x)(xa)ex在区间(0,)上不单调,则实数 a 的取值范围是( ) A(,1) B(,0) C(1,0) D1,) 解析:选 A.f(x)ex(xa1),由题意,知方程 ex(xa1)0 在(0,)上至少有 一个实数根,即 xa10,解得 a0, 即 a0,则由 f(x)0,得 xln a. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 x(,ln a)
11、时,f(x)0. 故 f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增 若 a0; (ln( a 2),) 故 f(x)在上单调递减, (,ln( a 2) 在上单调递增 (ln( a 2),) 利用导数研究函数的极值(最值)问题(综合型) 函数 f(x)在点 x0附近有定义, 若在 x0附近左侧 f(x)0, 右侧 f(x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值 典型例题 命题角度一 求函数的极值或最值 已知函数 f(x)ax2(a2)xln x,其中 aR. (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)当 a0 时,若 f(x)在区间1,
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