2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题一 4 第4讲 导数的综合应用 学案 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 4 讲 导数的综合应用 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷讨论函数的单调性、不等式的证明T21 卷不等式的证明、函数的零点问题T212018 卷不等式的证明、极值点问题T21 卷 利用导数研究函数的单调性、函数的零 点T21 卷 利用导数研究函数的单调性及极值、函 数的零点、不等式的证明T21 2017 卷 导数在研究函数单调性中的应用、不等 式放缩T21 卷函数的零点问题、不等式的证明T21 卷 函数单调性的判断、不等式证明及值域 问题T212016 卷 三角函数的导数运算、最值问题及不等 式证明T21 导数日益成为解决问 题必不可少的工具
2、, 利用导 数研究函数的单调性与极 值(最值)是高考的常见题 型, 而导数与函数、 不等式、 方程、数列等的交汇命题, 是高考的热点和难点 解答题的热点题型有: (1)利用导数研究函数的单 调性、极值、最值 (2)利用导数证明不等式或 探讨方程的根 (3)利用导数求解参数的范 围或值. 利用导数研究函数的零点(方程的根)(综合型) 典型例题 命题角度一 根据函数零点求参数范围 (2018高考全国卷)已知函数 f(x)exax2. (1)若 a1,证明:当 x0 时,f(x)1; (2)若 f(x)在(0,)只有一个零点,求 a. 【解】 (1)证明:当 a1 时,f(x)1 等价于(x21)e
3、x10. 设函数 g(x)(x21)ex1,则 g(x)(x22x1)ex(x1)2ex. 当 x1 时, g(x)0, 所以 g(x)在(0, )单调递减 而 g(0)0, 故当 x0 时, g(x)0, 即 f(x)1. (2)设函数 h(x)1ax2ex. f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当 h(x)在(0,)只有一个零点 ()当 a0 时,h(x)0,h(x)没有零点; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()当 a0 时,h(x)ax(x2)ex.当 x(0,2)时,h(x)0; 当 x(2,)时,h (x)0. 所以 h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增 故
4、 h(2)1是 h(x)在0,)的最小值 4a e2 若 h(2)0,即 a,h(x)在(0,)没有零点; e2 4 若 h(2)0,即 a,h(x)在(0,)只有一个零点; e2 4 若 h(2)0,即 a,由于 h(0)1,所以 h(x)在(0,2)有一个零点 e2 4 由(1)知,当 x0 时,exx2,所以 h(4a)1111 0. 16a3 e4a 16a3 (e2a)2 16a3 (2a)4 1 a 故 h(x)在(2,4a)有一个零点因此 h(x)在(0,)有两个零点 综上,f(x)在(0,)只有一个零点时,a. e2 4 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”
5、 ,即通过函数图象的交 点个数确定参数满足的条件, 把问题转化为使用计算方法研究参数满足的代数条件上, 解决 问题的步骤是“先形后数” 命题角度二 根据参数确定函数的零点个数 已知函数 f(x)(a,bR,a0)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为a. aln xb x (1)求 f(x)的单调区间; (2)讨论方程 f(x)1 根的个数 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,),f(x),由 f(1)aba, abaln x x2 得 b2a,所以 f(x),f(x). a(ln x2) x a(ln x1) x2 当 a0 时,由 f(x)0,得 0 . 1 e 1 e 当 a0,
6、得 x ;由 f(x)0 时, f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为; 当 a0, 在上 h(x)0,当 x 无限增大时,h(x)无限接近 0; ( 1 e,) ln x2 x 在上,h(x)单调递增且当 x 无限接近 0 时,ln x2 负无限大,故 h(x)负无限大 (0, 1 e) 故当 0 时,方程 f(x)1 有两个不等实根,当 a 时,方程 f(x)1 只有一 1 a 1 e 1 e 个实根,当 a 时,方程 f(x)1 有两个实根;当 a0, 则当x(, 1)时, f(x)0.所以f(x)在(, 1) 上单调递减,在(1,)上单调递增 又 f(1)e, f(2)a, 取 b
7、 满足 b (b2)a(b1)2a0, a 2 a 2(b 23 2b) 故 f(x)存在两个零点 ()设 a0,因此 f(x)在(1,)上单调 e 2 递增又当 x1 时,f(x)1.故当 x(1,ln(2a)时,f(x)0.因此 f(x)在(1,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),)上单调递增又当 x1 时, f(x)f(2x2), 即 f(2x2)1 时,g(x)1 时,g(x)0,所以 f(x)在(0,)上单调递增; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 a0 时,由得 0,所以 f(x)在上单调递 f(x)0, x 0,) a a a a(0, a a) 增,在上单调
8、递减 ( a a ,) 综上所述:当 a0 时,f(x)的单调递增区间为(0,); 当 a0 时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (0, a a)( a a ,) (3)由(2)可知, ()当 a0,故 f(x)在1,e2上没有零点; 1 2 ()当 a0 时,f(x)在1,e2上单调递增,而 f(1) a0,故 f(x)在1,e2上有一个 1 2 零点; ()当 a0 时,若1,即 a1 时,f(x)在1,e2上单调递减,因为 f(1) a 时,f(x)在1,e2上没有零点; ( a a) 1 2 1 2 1 e 若 f ln a 0,即 a 时,f(x)在1,e2上有一个零点;
9、 ( a a) 1 2 1 2 1 e 若 f ln a 0,即 a0 得 a0, a a 1 e4 1 2 1 2 所以 f(x)在1,e2上有一个零点 综上所述 : 当 a 时, f(x)在1, e2上没有零点 ; 当 0a0. 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,) f(x)aex ,由题意得 f(1) ,f(1) 1, b x 1 e 1 e 所以解得 ae1 e, aeb1 e1,) a 1 e2, b1.) (2)证明:由(1)知 f(x)exln x. 1 e2 因为 f(x)ex2 在(0, )上单调递增, 又 f(1)0, 所以 f(x)0 在(0, ) 1 x 上有
10、唯一实根 x0,且 x0(1,2) 当 x(0,x0)时,f(x)0, 从而当 xx0时,f(x)取极小值,也是最小值 由 f(x0)0,得 ex02,则 x02ln x0. 1 x0 故 f(x)f(x0)ex02ln x0x02220,所以 f(x)0. 1 x0 1 x0x 0 利用导数证明单变量的不等式的常见形式是 f(x)g(x)证明技巧:先将不等式 f(x)g(x) 移项,即构造函数 h(x)f(x)g(x),转化为证不等式 h(x)0,再次转化为证明 h(x)min0,因 此, 只需在所给的区间内, 判断 h(x)的符号, 从而判断其单调性, 并求出函数 h(x)的最小值, 即可
11、得证 命题角度二 双变量不等式的证明 已知函数 f(x)ln x ax2x,aR. 1 2 (1)当 a0 时,求函数 f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程; (2)若 a2,正实数 x1,x2满足 f(x1)f(x2)x1x20,证明:x1x2. 51 2 【解】 (1)当 a0 时,f(x)ln xx,则 f(1)1,所以切点为(1,1), 又 f(x) 1,则切线斜率 kf(1)2, 1 x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故切线方程为 y12(x1),即 2xy10. (2)证明:当 a2 时,f(x)ln xx2x,x0. 由 f(x1)f(x2)x1x20, 得
12、ln x1x x1ln x2x x2x1x20, 2 12 2 从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2), 令 tx1x2,则由 (t)tln t,得 (t)1 , 1 t t1 t 易知 (t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,)上单调递增, 所以 (t)(1)1,所以(x1x2)2(x1x2)1, 因为 x10,x20,所以 x1x2成立 51 2 破解含双参不等式证明题的三个关键点 (1)转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为 含单参的不等式 (2)巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值 (3)回归双参的不等式的证明,
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