结构力学【王焕定】1.超静定结构-力法基本原理.ppt
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1、第四章 超静定结构的解法,Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures,4-1 求解超静定问题的一般方法 4-2 力法 4-3 力法计算的简化 4-4 位移法 4-5 混合法和弯矩分配法 4-6 超静定结构特性 4-7 结论与讨论,遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想,可有不同的出发点:,以力作为基本未知量,在自动满足平衡条件的基础上进行分析,这时主要应解决变形协调问题,这种分析方法称为力法(force method)。,以位移作为基本未知量,在自动满足变形协调条件的基础上来分析,当然这时主要需解
2、决平衡问题,这种分析方法称为位移法(displacement method)。,如果一个问题中既有力的未知量,也有位移的未知量,力的部分考虑位移协调,位移的部分考虑力的平衡,这样一种分析方案称为混合法(mixture method)。,在本章中将主要介绍力法和位移法(含弯矩分配法)。,1. 力法的基本原理,(Fundamentals of the Force Method),有一个多于约束的超静定结构,有四个反力,只有三个方程。,只要满足,为任意值,均平衡。,因此必须设法补充方程,力法的基本思路,超静定计算简图,解除约束转化成静定的,基本结构承受荷载和多余未知力,基本体系受力、变形解法已知,力
3、法的基本思路,用已掌握的方法,分析单个基本未知力作用下的受力和变形,同样方法分析“荷载”下的受力、变形,位移包含基本未知力Xi,为消除基本结构与原结构差别,建立位移协调条件,由此可解得基本未知力,从而解决受力变形分析问题,基本原理举例,待解的未知问题,转化,未知力的位移,“荷载”的位移,总位移等于已知位移,以掌握的问题,消除两者差别,叠加作弯矩图,或,系数求法,单位弯矩图,荷载弯矩图,系数和未知力等于多少?,例 2. 求解图示结构,解法1:,有两个多于约束,解除约束代以未知力,或,基本未知力引起的位移,荷载引起的位移,作单位和荷载弯矩图,求系数、建立力法方程并求解,仅与刚度相对值有关,由叠加原
4、理求得,力法基本思路小结,根据结构组成分析,正确判断多于约束个数超静定次数。,解除多余约束,转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力基本未知力。,分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移,建立位移协调条件力法典型方程。,从典型方程解得基本未知力,由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。,将未知问题转化为 已知问题,通过消除已 知问题和原问题的差别, 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。,由于从超静定转化为静定,将什么约束看成多余约束不是唯一的,因此力法求解的基本结构也不是唯一的。,解法 2:,解法3:,单位和荷载弯矩图,由单位和荷载弯矩
5、图可勾画出基本体系变形图,FP,由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程,图,图,单位和荷载弯矩图,小结:力法的解题步骤,问题:,超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数,(),(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系),(3 次),或,(14 次),或,(1 次),(6 次),(4 次),(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构,不同基本结构带来不同的计算工作量。因此,要选取工作量较少的基本结构。,确定超静定次数时应注意:,(c) 可变体系不能作为基本结构,(a) 切断弯曲杆次数3、链杆1,刚结变单铰1,拆开单铰2。总次数也可由计算自由
6、度得到。,(2) 建立力法典型方程,或写作矩阵方程,(3) 作基本结构在单位未知力和荷载(如果 有)作用下的弯矩(内力)图,(4) 求基本结构的位移系数,(5) 求基本结构的广义荷载位移,(6) 解方程求未知力,(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图,(8) 任取一基本结构,求超静定结构的位移,(9)对计算结果进行校核,对结构上的任一部分,其力的平衡条件均能满足。,如:,问题:使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解?,假如:,由,可证:平衡条件均能满足。,但:,结论:对计算结果除需进行力的校核外, 还必需进行位移的校核。,链 举 例,2. 力法解超静定结构举例,例 1. 求
7、解图示两端固支梁。,解:取简支梁为基本体系,力法典型方程为:,FP,单位和荷载弯矩图 为:,EI,由于,所以,又由于,于是有,两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力,典型方程改写为,图乘求得位移系数为,代入并求解可得,其中:,力法典型方程为:,EA为常数,各杆最后内力由 叠加法得到:,由计算知,在荷载作用下,超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度EA无关,只与各杆刚度比值有关。,问题:若用拆除上弦杆的静定结构作为基本结构,本题应如何考虑?,解:,力法方程的实质为:“ 3、4两结点的相对位移 等于所拆除杆的拉(压)变形 ”,自乘求11,令:,基本体系,解:,典型方程:,最终解得:,例 3. 求作图示连
8、续梁的弯矩图。,M图由 作出:,(c),当,当,取基本体系,,?,EI,解:取基本体系如图(b),典型方程:,如图示:,例 4. 求解图示加劲梁。横梁,55,当,内力,有无下部链杆时梁内最大弯矩之比:,梁的受力与两跨 连续梁相同。 (同例3中 ),当,梁受力有利,令梁内正、负弯矩值相等可得:,如何求 A ?,方程的物理意义是否明确?,例 5. 求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。,解:取图示基本结构,力法典型方程为:,其中 为由于支座移动所产生的位移,即,EI常数,最后内力(M图):,这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何?,支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗?,单位基本
9、未知力引起的弯矩图和反力,1、2、3等于多少?,问题:如何建立如下基本结构的典型方程?,用几 何法 与公 式法 相对 比。,试求图示两端固定单跨梁在下属情况下的M图。 (a) A端逆时针转动单位转角。 (b) A端竖向向上移动了单位位移。 (c) A、B两端均逆时针转动单位转角。 (d) A、B两端相对转动单位转角。 (e) A端竖向向上、B端竖向向下移动了单位位移。,解:选取基本体系,建立典型方程,基本体系二,例 6. 求作弯矩图(同例3)。,EI常数,(c),(下侧 受拉),弯矩图为:,进一步求D点竖向位移,解:取基本体系如图,(b),典型方程为:,例 7. 求图示刚架由于温度变化引起的内
10、力与K点的 。,温度变化引起的结构位移与内力的计算公式为:,EI常数,t1=250C t2=350C,设刚架杆件截面对称于形心轴,其高,温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。,则,M 图,温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度引起的超静定单跨梁。,简 化,下侧正弯矩为,设基本未知力为 X,则,跨中支座负弯矩为,根据题意正弯矩等于负弯矩,可得,有了基本未知力,由典型方程可得,返回,3. 力法计算的简化,无弯矩状态的判别,刚结点变成铰结点后,体系仍然几何不变的情况,前提条件:结点荷载; 不计轴向变形。,刚结点变成铰结点后,体系几何可变。但是,添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况,利用
11、上述结论,结合对称结构的对称性,可使手算分析得到简化。,一、 对称性 (Symmetry) 的利用,对称结构,非对称结构,注意:结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时,就不能称超静定结构是对称结构。,支承不对称,刚度不对称,几何对称 支承对称 刚度对称,对称结构的求解:,力法典型方程为:,(1)选取对称的基本结构,典型方程简化为:,正对称与反对称荷载:,如果作用于结构的荷载是对称的,如:,如果作用于结构的荷载是反对称的,如:,结论:对称结构在正对称荷载作用下,其内力和位移都是正对称的;在反对称荷载作用下,其内力和位移都是反对称的。,例,求图示结构的弯矩图。EI
12、=常数。,解:根据以上分析,力法方程为:,例:,(2)未知力分组和荷载分组,力法典型方程成为:,对称结构承受一般非对称荷载时,可将荷载分组,如:,(3)取半结构计算:,问题:偶数跨对称刚架如何处理?,(d),(c),进 一 步 说 明,例1:求作图示圆环的弯矩图。 EI=常数。,解:,取结构的1/4分析,单位弯矩(图)和荷载弯矩(图)为:,(b),(a),若只考虑弯矩对位移的影响,有:,弯矩为:,例 2. 试用对称性对结构进行简化。EI为常数。,方法 1,无弯矩, 不需求解,方法 2,无弯矩, 不需求解,二、 使单位弯矩图限于局部,三、 合理地安排铰的位置,链 位 移 法,写力法解超静定拱 的
13、读书摘记,对称结构按跨数可分为,返 回,4. 位移法的基本原理 (Fundamentals of Displacement Method),已有的知识:,(2)静定结构的内力分析和位移计算;,(1)结构组成分析;,超静定单跨梁的力法结果(1),形,形,载,形=形常数,载=载常数,超静定单跨梁的力法结果(2),载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(3),载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(4),形,载,形,载,超静定单跨梁的力法结果(5),载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(6),载,载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(7),载,载,载,形,超静定单跨梁的力法结果(8),载,载,载,载,超静定单跨
14、梁的力法结果(9),载,载,载,载,2,超静定单跨梁的力法结果(10),载,载,载,回顾力法的思路:,(1)解除多余约束代以基本未知力,确定基本结构、基本体系;,(2)分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的变形,消除与原结构的差别,建立力法典型方程;,(3)求解未知力,将超静定结构化为静定结构。,核心是化未知为已知,在线性小变形条件下,由叠加原理可得,单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下,其中:,称杆件的线刚度。,为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩,称为固端弯矩。,转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation,同理,另两类杆的转
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