2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一4第4讲导数的综合应用学案.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 4 讲 导数的综合应用第 4 讲 导数的综合应用 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷讨论函数的单调性、不等式的证明T21 卷不等式的证明、函数的零点问题T212018 卷不等式的证明、极值点问题T21 卷 利用导数研究函数的单调性、函数的零 点T21 卷 利用导数研究函数的单调性及极值、函 数的零点、不等式的证明T21 2017 卷 导数在研究函数单调性中的应用、不等 式放缩T21 卷函数的零点问题、不等式的证明T21 卷 函数单调性的判断、不等式证明及值域 问题T212016 卷 三角函数的导数运算、最值问题及不等 式证明T21 导数日益成
2、为解决问 题必不可少的工具, 利用导 数研究函数的单调性与极 值(最值)是高考的常见题 型, 而导数与函数、 不等式、 方程、数列等的交汇命题, 是高考的热点和难点 解答题的热点题型有: (1)利用导数研究函数的单 调性、极值、最值 (2)利用导数证明不等式或 探讨方程的根 (3)利用导数求解参数的范 围或值. 利用导数研究函数的零点(方程的根)(综合型) 典型例题 命题角度一 根据函数零点求参数范围 (2018高考全国卷)已知函数f(x)exax2. (1)若a1,证明:当x0 时,f(x)1; (2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a. 【解】 (1)证明:当a1 时,f(x)1 等价
3、于(x21)ex10. 设函数g(x)(x21)ex1,则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex. 当x1 时,g(x)0,所以g(x)在(0,)单调递减而g(0)0,故当x0 时, g(x)0,即f(x)1. (2)设函数h(x)1ax2ex. f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点 ()当a0 时,h(x)0,h(x)没有零点; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()当a0 时,h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时,h(x)0; 当x(2,) 时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增 故h(2)1是h(x)在0,
4、)的最小值 4a e2 若h(2)0,即a,h(x)在(0,)没有零点; e2 4 若h(2)0,即a,h(x)在(0,)只有一个零点; e2 4 若h(2)0,即a,由于h(0)1,所以h(x)在(0,2)有一个零点 e2 4 由(1)知,当x0 时,exx2,所以 h(4a)1111 0. 16a3 e4a 16a3 (e2a)2 16a3 (2a)4 1 a 故h(x)在(2,4a)有一个零点因此h(x)在(0,)有两个零点 综上,f(x)在(0,)只有一个零点时,a. e2 4 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合” ,即通过函数图象的交 点个数确定参数满足的条件,
5、把问题转化为使用计算方法研究参数满足的代数条件上, 解决 问题的步骤是“先形后数” 命题角度二 根据参数确定函数的零点个数 已知函数f(x)(a,bR R,a0)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为 aln xb x a. (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论方程f(x)1 根的个数 【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0, ),f(x), 由f(1)ab abaln x x2 a,得b2a,所以f(x),f(x). a(ln x2) x a(ln x1) x2 当a0 时,由f(x)0,得 0 . 1 e 1 e 当a0,得x ;由f(x)0 时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区
6、间为; 当a0,在 1ln x x2 1 e(0, 1 e)( 1 e,) 上h(x)0,当x无限增大时,h(x)无限接近 0 ; ( 1 e,) ln x2 x 在上,h(x)单调递增且当x无限接近 0 时,ln x2 负无限大,故h(x)负无限大 (0, 1 e) 故当 0 时,方程f(x)1 有两个不等实根,当a 时,方程f(x)1 只有 1 a 1 e 1 e 一个实根,当a 时,方程f(x)1 有两个实根 ; 当a0, 则当x(, 1)时,f(x)0.所以f(x) 在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增 又f(1)e,f(2)a, 取b满足b (b2)a(b1)2a a 2 a
7、2 0, (b 23 2b) 故f(x)存在两个零点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()设a0,因此f(x)在(1,) e 2 上单调递增又当x1 时,f(x)1.故当x(1, ln(2a)时,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),)上单调递 增又当x1 时,f(x)f(2x2), 即f(2x2)1 时,g(x)1 时,g(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增; 当a0 时,由得 0,所以f(x)在上 f(x)0, x 0,) a a a a(0, a a) 单调递增,在上单调递减 ( a a ,) 综上所述:当a0 时,f(x)的单调递增
8、区间为(0,); 当a0 时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (0, a a)( a a ,) (3)由(2)可知, ()当a0,故f(x)在1,e2上没有零点; 1 2 ()当a0 时,f(x)在1,e2上单调递增,而f(1)a0,故f(x)在1,e2上 1 2 有一个零点; ()当a0 时, 若1, 即a1 时,f(x)在1, e2上单调递减, 因为f(1)a 时,f(x)在1,e2上没有零点; ( a a) 1 2 1 2 1 e 若f ln a 0,即a 时,f(x)在1,e2上有一个零点; ( a a) 1 2 1 2 1 e 若f ln a 0, 即a0 得a0,所以f
9、(x)在1,e2上有一个零点 1 2 综上所述 : 当a 时,f(x)在1, e2上没有零点 ; 当0a0. 【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0,) f(x)aex ,由题意得f(1) ,f(1) 1, b x 1 e 1 e 所以解得 ae1 e, aeb1 e1,) a 1 e2, b1.) (2)证明:由(1)知f(x)exln x. 1 e2 因为f(x)ex2 在(0, )上单调递增, 又f(1)0, 所以f(x)0 1 x 在(0,)上有唯一实根x0,且x0(1,2) 当x(0,x0)时,f(x)0, 从而当xx0时,f(x)取极小值,也是最小值 由f(x0)0,得 ex02
10、,则x02ln x0. 1 x0 故f(x)f(x0)ex02ln x0x02220,所以f(x)0. 1 x0 1 x0x 0 利用导数证明单变量的不等式的常见形式是f(x)g(x)证明技巧:先将不等式 f(x)g(x)移项,即构造函数h(x)f(x)g(x),转化为证不等式h(x)0,再次转化为证明 h(x)min0,因此,只需在所给的区间内,判断h(x)的符号,从而判断其单调性,并求出 函数h(x)的最小值,即可得证 命题角度二 双变量不等式的证明 已知函数f(x)ln xax2x,aR R. 1 2 (1)当a0 时,求函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程; 高清试卷 下载可
11、打印 高清试卷 下载可打印 (2)若a2,正实数x1,x2满足f(x1)f(x2)x1x20,证明:x1x2. 51 2 【解】 (1)当a0 时,f(x)ln xx,则f(1)1,所以切点为(1,1), 又f(x) 1,则切线斜率kf(1)2, 1 x 故切线方程为y12(x1),即 2xy10. (2)证明:当a2 时,f(x)ln xx2x,x0. 由f(x1)f(x2)x1x20, 得 ln x1xx1ln x2xx2x1x20, 2 12 2 从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2), 令tx1x2,则由(t)tln t,得(t)1 , 1 t t1 t 易知(t)在区
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