2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题三1第1讲等差数列与等比数列学.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 1 讲 等差数列与等比数列第 1 讲 等差数列与等比数列 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷 等差数列基本量的计算T4 an与Sn关系 的应用T14 卷 等差数列基本量的计算、和的最值问 题T17 2018 卷等比数列基本量的计算T17 卷等差数列的通项公式、前n项和公式T4 卷 等比数列的概念、前n项和公式、数学文 化T3 等差数列的前n项和公式、通项公式及等 比中项T9 2017 卷 等比数列的通项公式T14 2016卷 等差数列的基本运算T3 等比数列的运 算T15 等差数列、等比数列 的判定及其通项公式在考 查基本运算、基本概念的 同
2、时,也注重对函数与方 程、等价转化、分类讨论 等数学思想的考查;对等 差数列、等比数列的性质 考查主要是求解数列的等 差中项、等比中项、通项 公式和前n项和的最大、 最小值等问题,主要是中 低档题. 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列:ana1(n1)d; 等比数列:ana1qn1. 求和公式 等差数列:Snna1d; n(a1an) 2 n(n1) 2 等比数列:Sn(q1) a1(1qn) 1q a1anq 1q 性质 等差数列等比数列 若m,n,p,qN N*, 且mnpq, 则amanap aq 若m,n,p,qN N*,且mnpq, 则amanapaq anam(
3、nm)danamqnm 性质 Sm,S2mSm,S3mS2m,仍成等差数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍成等比数 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 列(Sn0) 考法全练 1(2018贵阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a62a3,则( ) S11 S5 A. B. 11 5 5 22 C. D. 11 10 22 5 解析:选 D.故选 D. S11 S5 11 2 (a1a11) 5 2(a 1a5) 11a6 5a3 22 5 2(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若 3S3S2S4,a12, 则a5( ) A12 B10 C10 D12 解析 :
4、选B.设等差数列an的公差为d, 因为3S3S2S4, 所以3(3a1d)2a1d 3 2 2 4a1d, 解得da1, 因为a12, 所以d3, 所以a5a14d24(3) 4 3 2 3 2 10.故选 B. 3 (2018郑州模拟)等比数列an的前n项和为Sn, 若对任意的正整数n,Sn24Sn3 恒成立,则a1的值为 ( ) A3 B1 C3 或 1 D1 或 3 解析 : 选C.设等比数列an的公比为q, 当q1时,Sn2(n2)a1,Snna1, 由Sn24Sn 3 得,(n2)a14na13,即 3a1n2a13,若对任意的正整数n,3a1n2a13 恒成立, 则a10 且 2a
5、130,矛盾,所以q1, 所以Sn,Sn2, a1(1qn) 1q a1(1qn2) 1q 代入Sn24Sn3 并化简得a1(4q2)qn33a13q,若对任意的正整数n该等式恒 成立,则有解得或故a11 或3,故选 C. 4q20, 33a13q0,) a11, q2) a13, q2,) 4(2018南宁模拟)在等比数列an中,a2a616,a4a88,则_ a20 a10 解析 : 法一 : 设等比数列an的公比为q, 由a2a616 得a q616, 所以a1q34.由a4 2 1 a88,得a1q3(1q4)8,即 1q42,所以q21.于是q101. a20 a10 高清试卷 下载
6、可打印 高清试卷 下载可打印 法二:由等比数列的性质,得aa2a616,所以a44,又a4a88, 2 4 所以或因为aa4a80, 所以则公比q满足q41,q21, a44, a84) a44, a812.) 2 6 a44, a84,) 所以q101. a20 a10 答案:1 5(2018高考全国卷)等比数列an中,a11,a54a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和若Sm63,求m. 解:(1)设an的公比为q,由题设得anqn1. 由已知得q44q2, 解得q0(舍去),q2 或q2. 故an(2)n1或an2n1. (2)若an(2)n1,则Sn. 1(2)
7、n 3 由Sm63 得(2)m188,此方程没有正整数解 若an2n1,则Sn2n1. 由Sm63 得 2m64,解得m6. 综上,m6. 等差、等比数列的判定与证明(综合型) 证明数列an是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列an是等差数列的两种基本方法: 利用定义,证明an1an(nN N*)为一常数; 利用等差中项,即证明 2anan1an1(n2) (2)证明an是等比数列的两种基本方法: 利用定义,证明(nN N*)为一常数; an1 an 利用等比中项,即证明aan1an1(n2) 2n 典型例题 设Sn为数列an的前n项和, 对任意的nN N*, 都有Sn2an, 数列bn满
8、足b1 2a1,bn(n2,nN N*) bn1 1bn1 (1)求证:数列an是等比数列,并求an的通项公式; (2)判断数列是等差数列还是等比数列,并求数列bn的通项公式 1 bn 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【解】 (1)当n1 时,a1S12a1,解得a11; 当n2 时,anSnSn1an1an,即 (n2,nN N*) an an1 1 2 所以数列an是首项为 1,公比为 的等比数列, 1 2 故数列an的通项公式为an. ( 1 2) n1 (2)因为a11, 所以b12a12. 因为bn, bn1 1bn1 所以1, 1 bn 1 bn1 即1(n2) 1 b
9、n 1 bn1 所以数列是首项为 ,公差为 1 的等差数列 1 bn 1 2 所以 (n1)1,故数列bn的通项公式为bn. 1 bn 1 2 2n1 2 2 2n1 判断(证明)等差(比)数列应注意的问题 (1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明,其他 方法最后都会回到定义, 如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数, 但最后还得使 用定义才能说明其为等差数列 (2)证明数列an为等比数列时,不能仅仅证明an1qan,还要说明a10,才能递推 得出数列中的各项均不为零,最后断定数列an为等比数列 对点训练 记Sn为等比数列an的前n项和,已知S22,S36
10、. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列 解:(1)设an的公比为q.由题设可得 a1(1q)2, a1(1qq2)6.) 解得q2,a12. 故an的通项公式为an(2)n. (2)由(1)可得Sn (1)n. a1(1qn) 1q 2 3 2n1 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由于Sn2Sn1 (1)n2 (1)n2Sn, 故Sn1,Sn,Sn2 4 3 2n32n2 3 2 3 2n1 3 成等差数列 Sn,an关系的应用(综合型) 数列an中,an与Sn的关系 an S1,n1, SnSn1,n 2.) 求数列通项的常用方法
11、 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式 (2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用 累加法求数列的通项an. (3)在已知数列an中,满足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累乘 an1 an 法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列) 典型例题 (1)(2018合肥第一次质量检测)已知数列an的前n项和为Sn, 若3Sn2an 3n, 则a2 018( ) A22 0181 B32 0186 C D ( 1 2) 2 018 7 2( 1 3) 2 018 10 3 (2)(2018福州模拟)
12、已知数列an中,a11,a22,an 13an2an 1(n2,n N N*)设bnan1an. 证明:数列bn是等比数列; 设cn,求数列cn的前n项和Sn. bn (4n21)2n 【解】 (1)选 A.因为a1S1,所以 3a13S12a13a13. 当n2 时, 3Sn2an3n, 3Sn12an13(n1), 所以an2an13, 即an1 2(an11),所以数列an1是以2 为首项,2 为公比的等比数列 所以an1(2)(2)n1(2)n, 则a2 01822 0181. (2)证明:因为an13an2an1(n2,nN N*),bnan1an, 所以2, bn1 bn an2a
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