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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 22 数学思想方法专项专题 22 数学思想方法专项 【训练目标】 1、 领会数形结合思想,函数与方程思想,转化与化归思想三种数学思想的本质,能灵活运用这三种数学思 想解决问题; 2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法; 【温馨小提示】 数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养 就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有 综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现. 二轮复习中如果能自觉
2、渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起 到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想 一、函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等 式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解. 1.若 0ln x2ln x1 B. 21 ee xx -e xx xx D. 12 21 eg(x2), 12 21 ee xx xx,故选 C. 2.已知定义在 R R 上的函数g(x)的导函数为g(x), 满足g(x)g(x)1 的解集为_. gx ex
3、【答案】(,0) 3.已知f(t)log2t,t,8,对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2mx42m4x恒成立,则x2 的取值范围是_. 【答案】 (,1)(2,) 【解析】 t,8,f(t).2 1 2,3 问题转化为m(x2)(x2)20 恒成立, 当x2 时,不等式不成立,x2. 令g(m)m(x2)(x2)2,m. 1 2,3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 问题转化为g(m)在上恒大于 0, 1 2,3 则Error!即Error! 解得x2 或x0, 设Snf(n),则f(n)为二次函数, 又由f(7)f(17)知,f(n)的图象开口向上,关于直线n12 对称,
4、故Sn取最小值时n的值为 12. 8.设等差数列an的前n项和为Sn,若S42,S63,则nSn的最小值为_. 【答案】 9 【解析】 由Error!解得a12,d1, 所以Sn ,故nSn. n25n 2 n35n2 2 令f(x),则f(x)x25x, x35x2 2 3 2 令f(x)0,得x0 或x, 10 3 f(x)在上单调递减,在上单调递增. (0, 10 3)( 10 3 ,) 又n是正整数,故当n3 时,nSn取得最小值9. 三、函数与方程思想在解析几何中的应用 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想;直线与圆锥曲 线的位置关系问题,
5、可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决;求变量的取值范围和最值问题 常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答. 9.(2016全国)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点, 交C的准线于D,E两点.已知|AB|4, |DE|2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2,则C的焦点到准线的距离为( )5 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】 不妨设抛物线C:y22px(p0),圆的方程设为x2y2r2(r0),如图, 又可设A(x0,2),D,2 ( p 2 , 5 ) 点A(x0,2)在抛物线y22px上,82px0,2 点A(x0,2)在圆x2y2r
6、2上,x8r2,2 2 0 点D在圆x2y2r2上,5 2r2, ( p 2 , 5 )( p 2) 联立,解得p4(负值舍去),即C的焦点到准线的距离为p4,故选 B. 10.如图,已知双曲线C:1(a0,b0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的 x2 a2 y2 b2 一条渐近线交于P,Q两点,若PAQ60,且3,则双曲线C的离心率为( )OQ OP A. B. C. D. 2 3 3 7 2 39 6 3 【答案】B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以点A到直线yx的距离d, b a | b aa0| ( b a) 212 ab a2b2 所以 2(2R
7、)2R23R2, ( ab a2b2) 即a2b23R2(a2b2), 在OQA中,由余弦定理得, |OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R 7R2a2. 1 2 由Error!得Error! 所以双曲线C的离心率为e . c a c2 a2 a2b2 a2 1b 2 a21 21 4 R2 7R2 7 2 11.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(k0)与AB相交于点D,与椭 圆相交于E,F两点.若6,则k的值为_.ED DF 【答案】 或 2 3 3 8 【解析】 依题意得椭圆的方程为y21,直线AB,
8、EF的方程分别为x2y2,ykx(k0).如图,设D(x0,kx0), x2 4 E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1 . 1 k 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以k的取值范围为. ( 1 4,) 3.已知函数f(x)是定义在 R R 上的偶函数,且f(x1)f(x1),当x1,0时,f(x)x3,则关 于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为_. 5 2, 1 2 【答案】7 【解析】 因为函数f(x)为偶函数,所以f(x1)f(x1)f(x1),所以函数f(x)的周期为 2. 又当x1,0时,f(x)x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数
9、y1f(x)与y2|cos x|的图 象如图所示. 由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有 7 个. 5 2, 1 2 不妨设x10,所以m1,故m的取值范围是1,). |m1| 2 22 7.若不等式|x2a|xa1 对xR R 恒成立,则实数a的取值范围是_. 1 2 【答案】 (, 1 2 【解析】作出y1|x2a|和y2xa1 的简图,如图所示. 1 2 依题意得Error!故a . 1 2 8.已知函数f(x)Error!若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)f(x2),则实数a的取值范围为 _. 【答案】 0,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
10、印 三、数形结合思想在解析几何中的应用 在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,构建解析几何模 型并应用模型的几何意义求最值或范围; 常见的几何结构的代数形式主要有:比值可考虑直线的斜 率;二元一次式可考虑直线的截距;根式分式可考虑点到直线的距离;根式可考虑两 点间的距离. 9.已知圆C: (x3)2(y4)21 和两点A(m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB90, 则m的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 10.设双曲线C:1(a0,b0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2
11、为直 x2 a2 y2 b2 径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D.235 【答案】D 【解析】如图所示,设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连接OQ, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则OQPF2. 又PF1PF2,O为F1F2的中点, 所以|PF1|2|OQ|2a. 又|PF2|PF1|2a, 所以|PF2|4a. 在 RtF1PF2中,由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,得 4a216a220a24c2,即e . c a 5 11.已知抛物线的方程为x28y,F是其焦点,点
12、A(2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小, 此时点P的坐标为_. 【答案】 (2, 1 2) 【解析】因为(2)21, 设af(2)1,b ef(3)1,则a,b的大小关系为( ) A.ab C.ab D.无法确定 【答案】A 2.(2018宣城调研)定义在 R R 上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x),且在0,1上是减函数,则有( ) A.f 0,b0)的右焦点F作直线yx的垂线, 垂足为A, 交双曲线左支于B点, 若2 x2 a2 y2 b2 b a FB ,则该双曲线的离心率为( )FA A. B.2 C. D.357 【答案】C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
13、打印 5.记实数x1,x2,xn中最小数为minx1,x2,xn,则定义在区间0,)上的函数f(x)minx21,x3, 13 x的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作出三个函数y1x21,y2x3,y313x的图象如图. 由图可知, 在实数集 R R 上, minx21,x3, 13x为y2x3 上A点下方的射线, 抛物线AB之间的部分, 线段BC与直线y313x在点C下方的部分的组合体.显然, 在区间0, )上, 在C点时,yminx21,x 3,13x取得最大值. 解方程组Error!得点C( 5,8). 所以f(x)max8. 6.已知
14、函数f(x)|lg(x1)|,若 1ab且f(a)f(b),则a2b的取值范围为( ) A.(32,) B.32,)22 C.(6,) D.6,) 【答案】C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由对勾函数的性质知,当b时,f(b)2(b1)3 单调递增, ( 2 2 1,) 1 b1 b2, a2b2b6. b b1 7.(2018东莞模拟)已知函数f(x)Error!若不等式f(x)mx恒成立,则实数m的取值范围为( ) A.32,3222 B.32,02 C.32,02 D.(,3232,)22 【答案】C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.(2018德阳诊断)已知
15、函数f(x)xsin x, 若存在x2, 1, 使得f(x2x)f(xk)0 在 R R 上恒成立, ( 3x1 3x1xsin x) 2ln 33x 3x12 即函数f(x)在 R R 上单调递增. 若x02,1,使得f(xx0)f(x0k)x2x0,令g(x)x22x,x2,1. 2 0 则kg(x)ming(1)1 故实数k的取值范围是(1,). 9.已知正四棱锥的体积为,则正四棱锥的侧棱长的最小值为_. 32 3 【答案】2 3 【解析】如图所示,设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积Va2h, 1 3 32 3 故a2h32,即a2. 32 h 则其侧棱长为l. ( 2
16、a 2) 2h2 16 h h2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是_. 【答案】(0,2) 【解析】由f(x)|2x2|b有两个零点, 可得|2x2|b有两个不等的实根, 从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点,如图所示. 结合函数的图象,可得 00),若两条曲线没有公共点,则r的取值范围是 x2 9 y2 4 _. 【答案】(0,1)( 3 30 5 ,) 因此, 求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合, 等价于在定义域为y2, 2的情况下, 求函数r2f(y) y22y10 的值域. 5 4
17、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由f(2)1,f(2)9,f , ( 4 5) 54 5 可得f(y)的值域为,即r, 1, 54 51, 3 30 5 它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合, 因此, 两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0, 1) . ( 3 30 5 ,) 方法二 联立C1和C2的方程消去x,得到关于y的方程y22y10r20. 5 4 两条曲线没有公共点,等价于方程y22y10r20 要么没有实数根,要么有两个根y1,y22,2. 5 4 若没有实数根,则44(10r2)或r 0,则r0,解得 0r1. 因此,两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1). ( 3 30 5 ,) 12.若关于x的不等式 ex1x0 在上恰成立,则实数a的取值集合为_. x2 2(a 9 4) 1 2,) 【答案】2e 【解析】 关于x的不等式ex1x0在上恰成立函数g(x)在 x2 2(a 9 4) 1 2,) exx 2 2 1 x 1 2,) 上的值域为. a 9 4,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故g(x)在上单调递增, 1 2,) 则g(x)g2 , ( 1 2) 1 81 1 2 e 9 4 所以a 2 , 9 4 e 9 4 解得a2,e 所以a的取值集合为2.e
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