2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习:微专题07 等差数列与等比数列 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 07 等差数列与等比数列 1.已知an是等比数列,an0,且+a3a7=8,则2 5 log2a1+log2a2+log2a9=( ). A.8B.9C.10 D.11 解析 +a3a7=8,an0,且an是等比数列,2 5 2=8,a5=2.2 5 log2a1+log2a2+log2a9=log2(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5= log2=9log22=9,故选 B.9 5 答案 B 2.在等比数列an中,an0, , ,+1成等差数列,且a1+2a2=2,则数列 1 1 1 2 1 2 an的通项公式为 . 解析 设等比数
2、列an的公比为q,由an0 知q0,由题意得+ 1 1 =,即a1-a2=a1a2, ( 1 2 + 1) 2 2 a1q=1-q. 又a1+2a2=2,a1+2a1q=2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由解得或(舍去), 1q = 1 - q, 1+ 21q = 2, 1= 1, = 1 2 1= - 2, = - 1 数列an的通项公式为an=. ( 1 2) - 1 答案 an=(1 2) - 1 3.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第 1 行的 2 个数的和,第 2 行 的 3 个数的和,第 3 行的 4 个数的和,则第n行的n+1 个数的和 为 . 1 1 第 1
3、行 1 2 1 第 2 行 1 3 3 1 第 3 行 1 4 6 4 1 第 4 行 解析 1+1=2,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第n行的 n+1 个数的和为 2n. 答案 2n 4.已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=,nN*. ( + 1) 2 (1)求证:数列an是等差数列. (2)设bn=,Tn=b1+b2+bn,求Tn. 1 2 解析 (1)Sn=,nN*, ( + 1) 2 当n=1 时,a1=S1=(a10), 1 ( 1+ 1) 2 解得a1=1; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当n2 时,由 2= 2 +
4、, 2 - 1= 2 - 1+ - 1, 得 2an=+an-an-1,2 2 - 1 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, an+an-10, an-an-1=1(n2). 数列an是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)由(1)可得an=n,Sn=, ( + 1) 2 bn= -. 1 2 1 ( + 1) 1 1 + 1 Tn=b1+b2+b3+bn =1- + - + - 1 2 1 2 1 3 1 1 + 1 =1-=. 1 + 1 + 1 能力 1 等差、等比数列的基本运算 【例 1】 设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列
5、,则an= . 解析 (法一)设等比数列an的公比为q(q0),则 2S2=2(a1+a2)=2(a1+a1q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2. 因为 3S1,2S2,S3成等差数列, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 3a1+a1+a1q+a1q2=4(a1+a1q), 解得q=3,故an=3n-1. (法二)设等比数列an的公比为q,由 3S1,2S2,S3成等差数列,易 得q1, 所以 4S2=3S1+S3, 即=3a1+, 41(1 - 2) 1 - 1(1 - 3) 1 - 解得q=3,故an=3n-1. 答案 3n-1 在等差(比)数列问题中,最基
6、本的量是首项a1和公差d(公比q), 在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这 两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等差(比)数列问 题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前 n项和公式时,务必注意公比q的取值范围. 1.已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设 bn=1+log3an,则数列bn的前 15 项和为( ). A.152B.135 C.80D.16 解析 设等比数列an的公比为q,由a1+a3=30,a2+a4=S4- (a1+a3)=90,得公比q=3,首项a1=3,所以 2+ 4 1+ 3 30 1
7、 + 2 an=3n,bn=1log+33n=1+n,则数列bn是等差数列,其前 15 项和为 =135.故选 B. 15 (2 + 16) 2 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.设an是首项为a1,公差为-1 的等差数列,Sn为其前n项和.若 S1,S2,S4成等比数列,则a1=( ). A.2B.-2C.D.- 1 2 1 2 解析 由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6. 因为S1,S2,S4成等比数列, 所以=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),2 2 解得a1=- .故选 D. 1 2 答案 D 能力 2 等差、等比数列的基本性质
8、 【例 2】 (1)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足 S150,S160,S16= 15(1+ 15) 2 15 28 2 16(1+ 16) 2 =8(a8+a9)0,a9a2a80, 所以 00,即0,且a3a2n-3=22n(n2),则当n1 时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n-1= . 解析log 2a1log+2a2log+2a3+log+2a2n-1log=2(a1a2a3a2n-1). 设S=a1a2a3a2n-1, 则S=a2n-2a2n-3a1.2 - 1 两式相乘,得S2=(a3a2n-3)2n-1=22n(2n-1), 所以S=2n(2n-
9、1),故原式=n(2n-1). 答案 n(2n-1) 2.已知等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则= . 6 3 9 6 解析 显然公比q1,则由=1+q3=3,得q3=2, 6 3 1(1 - 6) 1 - 1(1 - 3) 1 - 1 - 6 1 - 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以= . 9 6 1 - 9 1 - 6 1 - 23 1 - 22 7 3 答案 7 3 能力 3 等差、等比数列的判断与证明 【例 3】 已知数列an的前n项和Sn=(an-1),其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; (2)当=2 时,求a2i. = 1 解析 (1)由
10、题意得a1=S1=(a1-1), 故1,a1=,a10. - 1 由Sn=(an-1),Sn+1=(an+1-1), 得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an. 由a10,0,得an0,所以=, an + 1 an - 1 因此an是首项为,公比为的等比数列, - 1 - 1 于是an=. ( - 1) n (2)由(1)可知,当=2 时,an=2n, 故a2i=a2+a4+a2n=. n i = 1 4(1 - 4n) 1 - 4 4(4n- 1) 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 判断或证明数列是否为等差、等比数列,一般是依据等差、等比 数列的定义,或利用等差中项
11、、等比中项进行判断.利用=an+1an-2 1(n2,nN*)来证明数列an为等比数列时,要注意数列中的各项均 不为 0. 记Sn为等比数列an的前n项和,已知a3=-8,S3=-6. (1)求数列an的通项公式; (2)求Sn,并证明对任意的nN*,Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列. 解析 (1)设数列an的公比为q, 由题设可得解得 12= - 8, 1(1 + q + 2) = - 6, = - 2, 1= - 2, 故数列an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=- +(-1)n. 1(1 - ) 1 - 2 3 2 + 1 3 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1
12、)n=2 4 3 2 + 3- 2 + 2 3 - 2 3 + ( - 1) 2 + 1 3 =2Sn, 故Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列. 能力 4 公式an=的应用 S1(n = 1), Sn- Sn - 1(n 2,n N * ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例 4】 设数列an的前n项和为Sn,已知 a1=,Sn+1=Sn+(nN*),其中常数1. (1)求证:数列an是等比数列. (2)若数列bn满足bn=log(a1a2an)(nN*),求数列bn的通 1 项公式. 解析 (1)当n=1 时,S2=S1+,即a2=2, =. 2 1 当n2 时,Sn=Sn-1
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