2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习:微专题19 直线与椭圆的综合 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 19 直线与椭圆的综合 1.直线x+4y+m=0 交椭圆+y2=1 于A,B两点,若线段AB中点的横坐标 2 16 为 1,则m=( ). A.-2 B.-1C.1D.2 解析 因为x+4y+m=0,所以y=- x- . 1 4 4 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则两式相减, 2 1 16 + 2 1= 1, 2 2 16 + 2 2= 1, 得=-=- . 1- 2 1- 2 1+ 2 16(1+ 2) 1 4 因为AB中点的横坐标为 1,所以纵坐标为 ,将代入直线y=- 1 4 ( 1, 1 4) x-,解得m=-2,故选 A. 1 4
2、 4 答案 A 2.已知F是椭圆+ =1(ab0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E 2 2 2 2 交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆的离心率为 ( ). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.B.C.D. 1 3 1 2 3 3 2 2 解析 在PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右 焦点为E,由椭圆的对称性,知四边形PFQE是平行四边形,所以在 PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以 t=,所以e=,故选 C. 2 3 3 3 答案 C 3.如图,在
3、平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+ =1(ab0)的右焦点, 2 2 2 2 直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率 2 是 . 解析 将y=代入椭圆的标准方程, 2 得+ =1,所以x=a, 2 2 2 4 2 3 2 故B,C. (- 3 2 a, 2) ( 3 2 a, 2) 又因为F(c,0),所以=,=. ( + 3 2 a, - 2) ( - 3 2 a, - 2) 因为BFC=90,所以=0, 所以+=0, ( + 3 2 a)( - 3 2 a)(- 2) 2 即c2- a2+ =0. 3 4 2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将b2=
4、a2-c2代入并化简,得a2= c2, 3 2 所以e2= =, 2 2 2 3 所以e=(负值舍去). 6 3 答案 6 3 4.直线+ =1 与椭圆+ =1 相交于A,B两点,该椭圆上有点P,使得 4 3 2 16 2 9 PAB的面积等于 3,则这样的点P共有 个. 解析 设P1(4cos ,3sin ),即点P1在第一象限. (0 b0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦 2 2 2 2 的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( ). A.B.C.D. 1 2 2 2 3 2 5 5 解析 设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代 入椭圆方程,由
5、点差法可知yM=- xM,代入点M(-4,1),解得=,e= 2 2 2 2 1 4 =,故选 C.1 - 2 2 3 2 答案 C 能力 2 会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy中,动点M(x,y)总满足关系式2 =|x-4|. ( - 1)2+ 2 (1)点M的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程. (2)坐标原点O到直线l:y=kx+m的距离为 1,直线l与M的轨迹 交于不同的两点A,B,若=-,求AOB的面积. 3 2 解析 (1)由 2=|x-4|, ( - 1)2+ 2 得+ =1, 2 4 2 3 所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆
6、, 它的标准方程为+ =1. 2 4 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由点O到直线l:y=kx+m的距离为 1,得d=1,即 1+k2=m2. | 1 + 2 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 2 4 + 2 3 = 1, = + , =(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得m2b0), 2 2 2 2 由椭圆的定义可得 2a=+ ( 3+ 2)2+ 1 ( 3 - 2)2+ 1 =+8 + 438 - 43 =+ ( 6+2)2 ( 6 - 2)2 =2,6
7、 a=.6 c=2,b2=2. 椭圆C的标准方程为+ =1. 2 6 2 2 (2)设直线l的方程为x=ky+2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 代入椭圆C的方程并化简得(k2+3)y2+4ky-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=-,y1y2=-. 4 2+ 3 2 2+ 3 OAB的面积S= |OF|y1-y2|=|y1-y2| 1 2 =. 162+ 8(2+ 3) 2+ 3 26 2+ 1 2+ 3 令t=(t1),则S=,当且仅当t=,即2+ 1 26t 2+ 2 26t 22t 32 k=1 时取等号, 此时直线l的方程为x=y+2. 圆心
8、O到直线l的距离d=,又圆O的半径为,故|DE|=226 =4.6 - 2 能力 3 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量 【例 3】 已知点M(-4,0),椭圆+ =1(0b0)的离心率为,过右焦点F且斜率 2 2 2 2 3 2 为k(k0)的直线与相交于A,B两点.若=3,则k=( ). A.1B.2C.D.32 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =3,y1=-3y2. e=,设a=2t,c=t,b=t, 3 2 3 x2+4y2-4t2=0. 设直线AB的方程为x=sy+t,3 代入中消去x,可得(s2+4)y2+2s
9、ty-t2=0,3 y1+y2=,y1y2=-. - 23st 2+ 4 2 2+ 4 由y1=-3y2可得-2y2=,-3=-, - 23st 2+ 4 2 2 2 2+ 4 解得s2=,k=.故选 D. 1 2 2 答案 D 能力 4 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的最值 【例 4】 已知椭圆E:+ =1(ab0)经过点P,椭圆 2 2 2 2 (- 3,1 2) 的一个焦点为(,0).3 (1)求椭圆E的方程; (2)若直线l过点(0,)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的最2 大值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)设椭圆E的左、右焦点分别为F1(-,0
10、)、F2(,0),33 则|PF1|=,|PF2|= . 1 2 7 2 |PF1|+|PF2|=4=2a,a=2. 又c=,b2=1,3 椭圆E的方程为+y2=1. 2 4 (2)当直线l的斜率存在时,设y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),2 由得(1+4k2)x2+8kx+4=0, 2 4 + 2= 1, = + 2 2 由0 得 4k21. x1+x2=,x1x2=, - 82k 1 + 42 4 1 + 42 |AB|=1 + 2 ( 1+ 2)2 - 412 =2. - 6( 1 1 + 42) 2 + 1 1 + 42 + 1 设t=,则 00,得m20, 0(3 +
11、42) - 整理得0),2 0 44+ 32 164+ 242+ 9 0,b0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线 段AB中点的直线的斜率为,则 的值为( ). 3 2 A.B. 3 2 23 3 C.D. 93 2 23 27 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则a+b=1,a+b=1,2 1 2 1 2 2 2 2 即a-a=-(b-b),2 1 2 2 2 1 2 2 则=-1, 2 1- b22 2 1- a22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =-1, (1- 2)(1+ 2) (1- 2)(1+ 2) (-1)=-1, 3 2 =,故选 B. 23 3
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