2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习:微专题20 直线与抛物线的综合 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 20 直线与抛物线的综合 1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,且x1+x2=,则弦AB的长为( ). 4 3 A.4B.C.D. 16 3 10 3 8 3 解析 抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得 p=2,则弦AB的长为x1+x2+p= +2=,故选 C. 4 3 10 3 答案 C 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为 抛物线上一点,PAl,A为垂足,若直线AF的斜率k=-,则线段PF3 的长为( ). A.4B.5C.6D.
2、7 解析 因为抛物线的方程为y2=6x, 所以焦点为F,准线方程为x=- . ( 3 2 ,0 ) 3 2 因为直线AF的斜率k=-,3 所以直线AF的方程为y=-.3( - 3 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当x=-时,y=3,即A. 3 2 3 (- 3 2 ,3 3) 因为PAl,A为垂足,所以点P的纵坐标为3,代入抛物线方程,3 得点P的坐标为,所以|PF|=|PA|= -=6,故选 C. ( 9 2 ,3 3) 9 2 (- 3 2) 答案 C 3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐 标原点,若0)上一点,由定义易得 高清试
3、卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标 准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到. 已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若 |AB|=16,且|AF|0. 设D(x1,y1),E(x2,y2), 则y1+y2=4m,y1y2=-4t. =(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4) =(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4) =x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4
4、(y1+y2)+16 =-4+16+y1y2-4(y1+y2)+16 ( 12)2 16 ( 2 1 4 + 2 2 4) =t2-16m2-12t+32-16m=0, 即t2-12t+32=16m2+16m, 得(t-6)2=4(2m+1)2, t-6=2(2m+1),即t=4m+8 或t=-4m+4. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 把t=4m+8 代入式检验,满足0,把t=-4m+4 代入式检验, 得m2(不合题意). 直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8. 直线DE过定点(8,-4). 根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的 平行与垂直、距
5、离等概念,可建立关于变量的方程来求解. 过点(2,1)的直线交抛物线y2= x于A,B两点(异于坐标原点O), 5 2 若|+|=|-|,则该直线的方程为( ). A.x+y-3=0B.2x+y-5=0 C.2x-y+5=0 D.x-2y=0 解析 设直线AB的方程为x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得 2y2-5my+5m-10=0. 2= 5 2 x, - 2 = ( - 1), 则=5(5m2-8m+16)0. (*) 又y1+y2=,y1y2=, 5 2 5 - 10 2 x1x2=(my1-m+2)(my2-m+2) =m2y1y2+m(2-m)(y1+
6、y2)+(2-m)2 =m2+m(2-m)+(2-m)2 5 - 10 2 5 2 =(2-m)2. |+|=|-|, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =x1x2+y1y2=0, (2-m)2+=0, 5 - 10 2 m=2 或m=-,满足(*), 1 2 但是当m=2,直线方程为x-2y=0 时,与抛物线的一个交点为原点, 不满足OAOB,应该舍去. 该直线的方程为x-2=-(y-1),即 2x+y-5=0.故选 B. 1 2 答案 B 能力 3 会用方程恒成立的思想解曲线过定点问题 【例 3】 已知椭圆C:+y2=1(a1)的上顶点为A,右焦点为F, 直 2 2 线AF与圆M
7、:(x-3)2+(y-1)2=3 相切. (1)求椭圆C的方程; (2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且=0, 求证:直线l过定点,并求该定点的坐标. 解析 (1)由题意知,圆M的圆心为(3,1),半径r=3 ,A(0,1),F(c,0), 直线AF的方程为+y=1,即x+cy-c=0. 由直线AF与圆M相切,得=, |3 + - | 2+ 1 3 解得c2=2,a2=c2+1=3, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故椭圆C的方程为+y2=1. 2 3 (2)由=0知APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可设 直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=- x
8、+1. 1 联立方程组 = + 1, 2 3 + 2= 1, 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, 解得x=0 或x=, - 6 1 + 32 故点P的坐标为, ( - 6 1 + 32, 1 - 32 1 + 32) 同理可得,点Q的坐标为. ( 6 2+ 3, 2- 3 2+ 3) 所以直线l的斜率为=, 2- 3 2+ 3 - 1 - 32 1 + 32 6 2+ 3 - - 6 1 + 32 2- 1 4 所以直线l的方程为y=+, 2- 1 4 ( - 6 2+ 3) 2- 3 2+ 3 即y=x- . 2- 1 4 1 2 所以直线l过定点. (0, - 1 2) 证明直线过定点
9、,一般有两种方法:(1)特殊探求,一般证明,即可 以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定 点在该直线或该曲线上(将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式 恒成立). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)分离参数法,一般可以根据需要选定参数R,结合已知条 件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式 f1(x,y)2+f2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于 x,y的二元一次关系式),由上述原理可得方程组从而求 1(x,y) = 0, 2(x,y) = 0, 3(x,y) = 0, 得该定点. 已知抛物线C:x2=2py(p
10、0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛 物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A,连接AB. (1)求抛物线C的标准方程. (2)直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理 由. 解析 (1)将点(2,1)代入抛物线的方程x2=2py中,得p=2. 所以抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A(-x1,y1). 由得x2-4kx+4=0. = - 1, 2= 4y, 则=16k2-160,x1+x2=4k,x1x2=4, 所以kAB=. 2- 1 2- ( - 1) 2 2 4 - 2 1 4
11、2+ 1 2- 1 4 所以直线AB的方程为y- =(x-x2), 2 2 4 2- 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以y=(x-x2)+ =x+1, 2- 1 4 2 2 4 2- 1 4 当x=0 时,y=1, 所以直线AB过定点(0,1). 能力 4 会建立目标函数,并转化为函数的值域或最值等问题求解 【例 4】 已知ABC的直角顶点A在y轴上,点B(1,0),D为斜 边BC的中点,且AD平行于x轴. (1)求点C的轨迹方程. (2)设点C的轨迹为曲线,直线BC与的另一个交点为E.以CE 为直径的圆交y轴于M,N两点,记此圆的圆心为P,MPN=,求的 最大值. 解析
12、 (1)设点C的坐标为(x,y),则BC的中点D的坐标为 ,点A的坐标为. ( + 1 2 , 2) ( 0, 2) 所以=,=. (1, - 2) ( , 2) 由ABAC,得=x- =0,即y2=4x, 2 4 经检验,当C点运动至原点时,A与C重合,不合题意,舍去. 所以点C的轨迹方程为y2=4x(x0). (2)依题意,可知直线CE不与x轴重合,设直线CE的方程为 x=my+1,点C,E的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),圆心P的坐标为(x0,y0). 由可得y2-4my-4=0, 2= 4x, = + 1 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 高清试卷 下载可打印 高清试卷
13、 下载可打印 所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x0=2m2+1, 1+ 2 2 所以圆P的半径r= |CE|=(x1+x2+2)=(4m2+4)=2m2+2. 1 2 1 2 1 2 过圆心P作PQMN于点Q,则MPQ= . 2 在 RtPQM中,cos= =1-, 2 | 0 22+ 1 22+ 2 1 22+ 2 当m2=0,即CE垂直于 x轴时,cos 取得最小值 , 取得最大值 , 2 1 2 2 3 所以的最大值为. 2 3 1.抛物线中的最值问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代 数的角度考虑,通过建立函数、 不等式等模型,利用二次函数法和基本 不等式法、换元法
14、、导数法求解;二是数形结合法,利用抛物线的图象 和几何性质来进行求解. 2.抛物线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参 数的取值范围. (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解决这类问 题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数并 求该函数的值域,从而确定参数的取值范围. 已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(r0).过点(1,0)的直
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