2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练:44 立体几何中的向量方法 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 44 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 考点规范练考点规范练 B 册第册第 29 页页 基础巩固基础巩固 1.直线 l的方向向量 s=(-1,1,1),平面 的法向量为 n=(2,x2+x,-x).若直线 l平面 ,则 x 的值为( ) A.-2B.-C.D. 222 答案 D 解析当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得 x=. 2 2.已知平面 的一个法向量为 n=(1,-,0),则 y 轴与平面 所成的角的大小为( ) 3 A.B. 6 3 C.D. 4 5 6
2、 答案 B 解析可知 y轴的方向向量为 m=(0,1,0),设 y 轴与平面 所成的角为 ,则 sin =|cos|. cos=-, | = - 3 2 1 3 2 sin =,= . 3 2 3 3. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M 在 EF 上,且 AM平面 BDE,则点 M 的坐标为( ) 2 A.(1,1,1)B.( 2 3 , 2 3 ,1 ) C.D. ( 2 2 , 2 2 ,1 )( 2 4 , 2 4 ,
3、1 ) 答案 C 解析设 M(x,x,1).由已知得 A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),则=(x-,x-,1),=(,- 2,222 22 22 ,0),=(0,-,1). 2 设平面 BDE的一个法向量为 n=(a,b,c), 则解得 , ,即 2 - 2 = 0, - 2 + = 0. = , = 2 . 令 b=1,则 n=(1,1,). 2 又 AM平面 BDE, 所以 n=0, 即 2(x-)+=0,得 x=. 22 2 2 所以 M. ( 2 2 , 2 2 ,1 ) 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是
4、棱 AB 的中点,则点 E 到平面 ACD1的距 离为( ) A.B.C.D. 1 2 2 2 1 3 1 6 答案 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C 解析如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0). 从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面 ACD1的法向量为 n=(a,b,c),11 则 = 0, 1 = 0, 即 - + 2 = 0, - + = 0, 得 = 2, = . 令 a=2,则 n=(2,1,2). 所以点
5、E 到平面 ACD1的距离为 h=. | 1 | | = 2 + 1 - 2 3 = 1 3 5. 如图,过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面 角的大小是( ) A.30B.45 C.60D.90 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 图 解析(方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面 APB与平面 PCD 的法向量分别为 n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的 1 2 | 1 | 2| = 2 2 大小是 45.
6、图 (方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面 ABP和平面 CDP所成的二面角就是平面 ABQP 和平面 CDPQ 所成的二面角,其大小为 45. 6.在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为( ) A.B.C.D. 2 2 15 5 6 4 6 3 答案 C 解析取 B1C1的中点 D1,以 A1为原点,A1D1,A1A 所在直线为 x 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系,设 AB=2,则 C1(,1,0),A(0,0,2),=(,1,-2),平面 BB1C1C 的一个法向量为 n=(1,0,0). 3 1 3 所以 AC1
7、与平面 BB1C1C所成角的正弦值为. | 1| | 1| = 3 8 = 6 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 . 答案 30 解析如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 OD=SO=OA=OB=OC=a, 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P. ( 0, - 2, 2) 则=(2a,0,0),=(a,a,0). =(- , - 2, 2), 设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n
8、=(0,1,1), 则 cos= | = 222 = . 1 2 =60, 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90-60=30. 8.(2018广东汕头调研)在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,ABC=90,ADBC,SA平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,则平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值是 . 1 2 答案 6 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析如图所示,建立空间直角坐标系,则依题意可知,D,C(1,1,0),S(0,0,1),可知是平 ( 1 2 ,0,0 ) =(1 2 ,0,0 ) 面 SAB 的一个法向量. 设平面 SC
9、D 的法向量 n=(x,y,z), 因为, =( 1 2,0, - 1), =( 1 2 ,1,0 ) 所以 n=0,n=0, 即 -z=0, +y=0. 2 2 令 x=2,则 y=-1,z=1,所以 n=(2,-1,1). 设平面 SCD 与平面 SAB所成的锐二面角为 , 则 cos =| | =. 1 2 2 + 0 ( - 1) + 0 1 ( 1 2) 2 22+ ( - 1)2+ 12 = 6 3 9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1B1=2,BC=. 2 (1)若 E 为线段 CC1的中点,求证:平面 A1BE平面 B1CD; (2)若点 P 为侧面
10、A1ABB1(包含边界)内的一个动点,且 C1P平面 A1BE,求线段 C1P 长度的最小值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解由题意知 DA,DC,DD1两两垂直,分别以 DA,DC,DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的 坐标系,则 A(,0,0),B(,2,0),C(0,2,0),A1(,0,2),B1(,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0). 2222 (1)证明:E 是线段 CC1的中点, E(0,2,1). =(,2,2),=(0,2,0),=(0,-2,2),=(-,0,1).设 m=(x1,y1,z1)是平面 B1CD
11、 的法向量,1 2 1 2 则1 = 21+ 21+ 21 = 0, = 21 = 0, 解得1 = - 21, 1 = 0, 故可取 m=(-,0,1). 2 设 n=(x2,y2,z2)是平面 A1BE的法向量, 则1 = - 22 + 22 = 0, = - 22+ 2 = 0, 解得2 = 22, 2= 22, 故可取 n=(1,). 2,2 mn=-1+0+1=0,mn, 222 平面 A1BE平面 B1CD. (2)P 为侧面 A1ABB1(包含边界)内的一个动点, 设 P(,a,b),且 0a2,0b2,则=(,a-2,b-2). 2 1 2 C1P平面 A1BE,n,1 n=(
12、a-2)+(b-2)=0,解得 a=3-b,1 2+22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 1b2, |=12 + ( - 2)2+ ( - 2)2=2 + (1 - )2+ ( - 2)2 =.22- 6 + 7 =2( - 3 2) 2 + 5 2 1b2, 当 b= 时,|取得最小值. 3 2 1 10 2 故线段 C1P 长度的最小值为. 10 2 10. 如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60. (1)证明:平面 ABEF平面 EFDC; (2)
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