2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测:10.1 椭圆及其性质 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题十 圆锥曲线与方程 【真题典例】 10.1 椭圆及其性质 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2018 浙江,17椭圆的标准方程向量、最值 2016 浙江,7椭圆的标准方程 双曲线的标准方程、 离心率 椭圆的 定义和 标准方 程 1.了解圆锥曲线的实际背景,了 解圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、 标准方程. 2015 浙江,19 椭圆的定义和 标准方程 直线与椭圆的位置关系、 最值、范围 椭圆的1.掌握椭圆的简单几何性质.2017 浙江,2椭圆的离心率 高
2、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2016 浙江,7,19椭圆的离心率 双曲线的离心率、圆、 直线与椭圆的位置关系 几何性 质 2.理解数形结合的数学思想. 2015 浙江,19,文 15椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系 分析解读 1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点. 2.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质. 3.考查把几何条件转化为代数形式的能力. 4.预计 2020 年高考中,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质, 以及与椭圆有关的综合问题上. 破考点 【考点集训】 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2018 浙江镇海中学阶
3、段性测试,21)已知椭圆 G:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜 2 2 2 2 6 3 2 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求PAB 的面积. 解析 (1)由已知得 c=2,=,解得 a=2.又 b2=a2-c2=4,所以椭圆 G 的方程为+=1. 2 6 3 3 2 12 2 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.由得 4x2+6mx+3m2-12=0. = + , 2 12 + 2 4 = 1, 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b
4、0)的离心率为,且经过点(3,1). 2 2 2 2 6 3 (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P(6,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,Q 是 x 轴上的点,若ABQ 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,求 直线 l 的方程. 解析 (1)由 e=a2=3b2,设椭圆方程为+=1, 6 3 2 3 2 2 2 则+=1,所以 b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1. 3 2 1 2 2 12 2 4 (2)设 AB 的中点坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6, 则由得(t2+3)y2+12ty+24=0, 2 12 + 2 4 = 1, = +
5、6 AB 的中垂线方程为 y+=-t,所以 Q, 6 2+ 3 ( - 18 2+ 3) ( 12 2+ 3 ,0) 点 Q到直线 l 的距离为. ( 12 2+ 3 ,0) 62+ 1 2+ 3 |AB|=,所以 6=2,解得 t2=9,所以 t=3.因此直线 l 的方程为 x3y-6=0. 431 + 22- 6 2+ 3 32- 6 考点二 椭圆的几何性质 1.(2018 浙江镇海中学期中,21)已知椭圆 C:+=1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面积为 2,且经 2 2 2 2 2 过点. (1, 2 2 ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆C的下顶点为P,如图所示,点M为直
6、线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM, 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,与 OM 交于点 N,四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2的最大值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)因为在椭圆 C 上,所以+=1,又因为椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为 2, (1, 2 2 ) 1 2 1 2 2 2 所以2a2b=2,即 ab=, 22 解得 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的方程为+y2=1. 2 2 (2)由(1)可知 F(1,0),设 M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2), 则当 t0 时,OM:y=
7、x,所以 kAB=-, 直线 AB 的方程为 y=- (x-1),即 2x+ty-2=0(t0), 由得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0, =- 2 (x - 1), 2+ 22- 2 = 0 则 =(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)0, x1+x2=,x1x2=, 16 8 + 2 8 - 22 8 + 2 AB=,1 + 2 8 + 2 1 + 4 2 2 2t 2+ 4 8 + 2 22(2+ 4) 8 + 2 又 OM=,所以 S1=OMAB=, 2+ 4 1 2 2+ 4 22(2+ 4) 8 + 2 2(2+ 4)2+ 4 8 + 2 由得 xN
8、=, =- 2 (x - 1), = 2 x, 4 2+ 4 所以 S2=1=, 4 2+ 4 2 2+ 4 所以 S1S2=b0)的离心率为,点 M(-2,1)是椭圆内一点, 过 2 2 2 2 3 2 点 M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 l1,l2,设 l1与椭圆 C 相交于点 A,B,l2与椭圆 C 相交于点 D,E.当 M 恰好为线段 AB 的中点时,|AB|=. 10 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求的最小值. 解析 (1)由题意得 a2=4b2, 即椭圆 C:+=1, 2 4 2 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
9、D(x3,y3),E(x4,y4). 由作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0. 21+ 421= 42, 22+ 422= 42 又当 M(-2,1)为线段 AB 的中点时,x1+x2=-4,y1+y2=2,AB 的斜率 k=. 1- 2 1- 2 由消去 y 得,x2+4x+8-2b2=0. 2 4 2 + 2 2 = 1, = 1 2x + 2 则|AB|=|x1-x2|=.1 + 21 + 1 4 16 - 4(8 - 22)10 解得 b2=3,于是椭圆 C 的方程为+=1. 2 12 2 3 (2)设直线 AB:y=k(x+2)+1,由消去 y 得
10、, 2 12 + 2 3 = 1, = ( + 2) + 1 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0. 于是 x1+x2=,x1x2=. - 8(2 + 1) 1 + 42 4(2 + 1)2- 12 1 + 42 =(+)(+)=+ =(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1). (-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2) =-(1+k2)4+2(x1+x2)+x1x2=. 4(1 + 2) 1 + 42 同理可得(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1)=. 4(
11、1 + 2) 4 + 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =4(1+k2)=,当 k=1 ( 1 1 + 42 + 1 4 + 2) 20(1 + 2)2 (1 + 42)(4 + 2) 20(1 + 2)2 ( 1 + 42+ 4 + 2 2 ) 2 16 5 时取等号. 综上,的最小值为. 16 5 炼技法 【方法集训】 方法 求椭圆离心率(范围)的常用方法 1.(2018 浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在 y 轴上的椭圆+=1 的离心率为,则实数 m 等于( ) 2 4 2 A.3B.C.5D. 16 5 16 3 答案 D 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,8
12、)设椭圆 C:+=1(ab0) 的右焦点为 F,椭圆 C 上的两点 A,B 关于原点 2 2 2 2 对称,且满足=0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( ) A.B. 2 2 , 5 3 5 3 ,1) C.D.-1,1) 2 2 ,3 - 13 答案 A 过专题 【五年高考】 A 组 自主命题浙江卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程 (2018 浙江,17,4 分)已知点 P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点 A,B 满足=2,则当 m= 时,点 B 2 4 横坐标的绝对值最大. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 5 考点二 椭圆的几何性质
13、1.(2017 浙江,2,4 分)椭圆+=1 的离心率是( ) 2 9 2 4 A.B.C.D. 13 3 5 3 答案 B 2.(2016 浙江,19,15 分)如图,设椭圆+y2=1(a1). 2 2 (1)求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a,k 表示); (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 解析 (1)设直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段为 AP, 由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, = + 1, 2 2 + 2= 1 故 x1=0,x2=-. 2 2k 1 + 22 因此|AP|=|x1-x2|=.1 +
14、 2 2 2|k| 1 + 22 1 + 2 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P,Q,满足|AP|=|AQ|. 记直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 2 2 | 1| 1 + 2 1 1 + 22 1 2 2 | 2| 1 + 2 2 1 + 22 2 故=, 2 2 | 1| 1 + 2 1 1 + 22 1 2 2 | 2| 1 + 2 2 1 + 22 2 所以(-)1+a2(2-a2)=0. 212221222122 由 k1k2,k1,k20 得 1+a2
15、(2-a2)=0, 21222122 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此=1+a2(a2-2), ( 1 2 1 + 1)( 1 2 2 + 1) 因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a. 2 因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 10, 4 2 将 AB 中点 M代入直线方程 y=mx+, ( 2 2+ 2 , 2b 2+ 2) 解得 b=-. 2+ 2 22 由得 m. 6 3 6 3 (2)令 t=, 1 ( - 6 2 ,0) (0, 6 2 ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则
16、|AB|=, 2+ 1 - 24+ 22+ 3 2 2+ 1 2 且 O 到直线 AB 的距离为 d=. 2+ 1 2 2+ 1 设AOB 的面积为 S(t), 所以 S(t)= |AB|d=. 1 2 - 2(2- 1 2) 2 + 2 2 2 当且仅当 t2=时,等号成立. 故AOB 面积的最大值为. 2 2 B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2014 辽宁,15,5 分)已知椭圆 C:+=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 2 9 2 4 线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= . 答案
17、 12 2.(2018天津文,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|= 2 2 2 2 5 3 . 13 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为(-x1,-y1).由BPM 的面积 是BPQ 面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1. 易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组消去 y,可得 x2=.由方程组消2 + 3 = 6, = , 6 3 + 2 2 9 + 2 4 = 1, = , 去 y,可得 x1=. 6 9 2 + 4 由 x
18、2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=-或 k=-. 9 2 + 4 当 k=-时,x2=-9b0)的离心率为,且右焦点 2 2 2 2 2 2 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB 的方程. 解析 (1)由题意,得=且 c+=3, 2 2 2 解得 a=,c=1,则 b=1, 2 所以椭圆的标准方程为+y2=1. 2 2 (2)当 ABx 轴时,AB=,又 CP=3,不合题意. 2 当 AB 与 x 轴不垂
19、直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2=,C 的坐标为 2 2 2(1 + 2) 1 + 22 ,且 AB=. ( 2 2 1 + 22 , - 1 + 22) ( 2- 1)2+ (2- 1)2 (1 + 2)(2- 1)2 22(1 + 2) 1 + 22 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k0,故直线 PC 的方程为 y+=-, 1 + 22 1 ( - 2
20、 2 1 + 22) 则 P 点的坐标为, ( - 2, 5 2 + 2 (1 + 22) 从而 PC=. 2(32+ 1) 1 + 2 |(1 + 22) 因为 PC=2AB, 所以=, 2(32+ 1) 1 + 2 |(1 + 22) 42(1 + 2) 1 + 22 解得 k=1. 此时直线 AB 方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 评析 本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想. 4.(2015 安徽,20,13 分)设椭圆 E 的方程为+=1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐 2 2 2 2 标为(0
21、,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为. 5 10 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为,求 E 的方程. 解析 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为, ( 2 3 a, 1 3b) 又 kOM=,从而=. 5 10 2 5 10 进而 a=b,c=2b.故 e=. 52- 2 25 5 (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为+=1,点 N 的坐标为,设点 N 关于 5b ( 5 2 b, - 1 2b) 直线 AB 的对称点 S
22、的坐标为,则线段 NS 的中点 T 的坐标为.又点 T 在直线 AB (1, 7 2) ( 5 4 b + 1 2 , - 1 4b + 7 4) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 上,且 kNSkAB=-1,从而有+=1,=,解得 b=3,所以 a=3,故椭圆 E 的 5 4 b + 1 2 5b - 1 4b + 7 4 7 2 + 1 2b 1- 5b 2 55 方程为+=1. 2 45 2 9 考点二 椭圆的几何性质 1.(2018 课标全国文,4,5 分)已知椭圆 C:+=1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) 2 2 2 4 A.B.C.D. 2 2 22
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