2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测:10.3 抛物线及其性质 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.3 抛物线及其性质 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2016 浙江文,19 抛物线的定义和 标准方程 直线与抛物线的 位置关系、抛物线的焦 点坐标、准线方程 抛物线 的定义 和标准 方程 1.了解圆锥曲线的实际背景,了 解圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、几何图 形、标准方程. 2014 浙江文,22 抛物线的定义 和标准方程 直线与抛物线的位置关 系、 抛物线的焦点坐标 2016 浙江,9 抛物线的焦点坐 标、 准线方程 抛物线的定义和 标准方程 2015
2、浙江,5 抛物线的焦点坐 标 抛物线的定义和 标准方程、直线与抛物线 的位置关系 抛物线 的几何 性质 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.理解数形结合的数学思想. 2014 浙江文,22 抛物线的焦点坐 标 直线与抛物线的位置关 系、 抛物线的定义和标准方程 分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质. 2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题. 3.预计 2020 年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 破考点 【考点集训】 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2018 浙江杭州二中期中,8)已知点
3、A(4,4)在抛物线 y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为 F,过点 A 作抛物 线准线的垂线,垂足为 E,则EAF 的平分线所在的直线方程为( ) A.2x+y-12=0B.x+2y-12=0 C.2x-y-4=0D.x-2y+4=0 答案 D 2.(2018 浙江名校协作体期初,15)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N. 若=,则|= . 1 2 答案 5 考点二 抛物线的几何性质 1.(2018 浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线 y2=4ax 的焦点坐标为( ) A.(a,0)或(-a,0)B.(a,0) C.(
4、-a,0) D.(|a|,0) 答案 B 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,16)已知抛物线 y2=4x,焦点记为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点, 则 |AF|-的最小值为 . 2 | 答案 2-2 2 炼技法 【方法集训】 方法 1 求抛物线标准方程的方法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.(2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F(0,1),过O 作斜率为 k(k0)的直线 l 交抛物线于 A(异于 O 点),已知 D(0,5),直线 AD 交抛物线于另一点 B. (1)求抛物线 C
5、的方程; (2)若 OABF,求 k 的值. 解析 (1)由题意知, =1,所以 p=2,所以抛物线 C:x2=4y. (2)由题意知,直线 OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y 中, 消去 y,得 x2-4kx=0,则 A(4k,4k2). 直线 AB:y=x+5,直线 BF:y=-x+1, 4 2 - 5 4 联立可解得 B. ( - 16 4 2 - 1 , 4 2 + 15 4 2 - 1) 又因为 B 在抛物线 C 上,则=4, ( - 16 4 2 - 1) 2 4 2 + 15 4 2 - 1 得(4k2+3)(4k2-5)=0,得 k=. 5 2 2.(2018 浙江
6、名校协作体期初,21)如图,已知抛物线 C1:x2=2py(p0)的焦点在抛物线 C2:y=x2+1 上,点 P 是抛 物线 C1上的动点. (1)求抛物线 C1的方程及其准线方程; (2)过点 P 作抛物线 C2的两条切线,A、B 为两个切点,求PAB 面积的最小值. 解析 (1)抛物线 C1的方程为 x2=4y, 其准线方程为 y=-1. (2)设 P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则切线 PA 的方程为 y-y1=2x1(x-x1),即 y=2x1x-2+y1,又 y1=+1,所以 y=2x1x+2-y1,同理得切线 PB
7、 的方程 2121 为y=2x2x+2-y2,又切线PA和PB都过P点,所以所以直线AB的方程为4tx-y+2-t2=0. 41- 1+ 2 - 2 = 0, 42- 2+ 2 - 2 = 0, 联立得 x2-4tx+t2-1=0,所以 = 4 + 2 - 2, = 2+ 1 1+ 2= 4t, 12= 2- 1. 所以|AB|=|x1-x2|=.1 + 1621 + 162122+ 4 点 P 到直线 AB 的距离 d=. |82- 2+ 2 - 2| 1 + 162 6 2 + 2 1 + 162 所以PAB 的面积 S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1, 3 2 + 1) 3
8、 2 所以当 t=0 时,S 取得最小值,为 2,即PAB 面积的最小值为 2. 方法 2 利用抛物线的定义解决有关问题的方法 1.(2018 浙江宁波模拟,8)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(5,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物 线的准线相交于 C,若|BF|=5,则BCF 与ACF 的面积的比= ( ) A.B.C.D. 20 33 15 31 20 29 答案 D 2.(2018 浙江金华十校第一学期期末调研,12)已知抛物线 y2=2px(p0)上一点 A(1,a)到焦点的距离为 2,则 该抛物线的准线方程为 ;a= . 答案 x=-1;2 过专题 【五年高
9、考】 A 组 自主命题浙江卷题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 (2016 浙江,9,4 分)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 9 考点二 抛物线的几何性质 1.(2015 浙江,5,5 分)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是( ) A.B.C.D. | - 1 | - 1 |2- 1 |2- 1 | + 1 | + 1 |2+ 1 |2+ 1 答案 A
10、2.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. (1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于 点 M.求 M 的横坐标的取值范围. 解析 (1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离,由抛物线的定义得=1, 即 p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t0,t1. 因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x
11、=sy+1(s0),由消去 x 得 y2-4sy-4=0, 2= 4x, = + 1 故 y1y2=-4,所以 B. ( 1 2 , - 2 ) 又直线 AB 的斜率为,故直线 FN 的斜率为-. 2 2- 1 2- 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从而得直线 FN:y=-(x-1),直线 BN:y=-. 2- 1 2 所以 N. ( 2+ 3 2- 1 , - 2 ) 设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得 =,于是 m=. 2 2- m 2 + 2 2- 2+ 3 2- 1 2 2 2- 1 所以 m2.经检验,m2 满足题意. 综上,点 M 的横坐标的取值范围是
12、(-,0)(2,+). 思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物 线方程联立可得 B 点坐标,进而得直线 FN 的方程与直线 BN 的方程,联立可得 N 点坐标,最后利用 A,M,N 三点 共线可得 kAM=kAN,最终求出结果. 评析 本题主要考查抛物线的几何性质、 直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思 想方法和综合解题能力. 3.(2014 浙江文,22,14 分)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的 中点,=3. (1)若|=3,求点 M
13、 的坐标; (2)求ABP 面积的最大值. 解析 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线的定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2, 所以 P(2,2)或 P(-2,2). 22 由=3,分别得 M或 M. ( - 22 3 ,2 3) ( 22 3 ,2 3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得 x2-4kx-4m=0, = + , 2= 4y 于是 =16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点
14、 M 的坐标为(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由=4y0得 k2=-m+. 0=- 6k, 0= 4 - 62- 3m, 20 4 15 由 0,k20,得-f, ( - 1 3, 1 9) ( 1 9,1) (1, 4 3) ( 1 9) 256 243 ( 4 3) 所以,当 m=时, f(m)取到最大值,此时 k=. 256 243 55 15 所以ABP 面积的最大值为. 2565 135 评析 本题主要考查抛物线的几何性质、 直线与抛物线的位置关系、 三角形面积公式、 平面向量等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法和运算
15、求解能力. B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2017 课标全国理,16,5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N. 若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 答案 6 2.(2015 陕西,14,5 分)若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 2 2 考点二 抛物线的几何性质 1.(2016 课标全国,10,5 分)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于
16、 D,E 两点.已知 |AB|=4,|DE|=2,则 C 的焦点到准线的距离为( ) 25 A.2B.4C.6D.8 答案 B 2.(2018 课标,16,5 分)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A,B 两点. 若AMB=90,则 k= . 答案 2 3.(2018 北京文,10,5 分)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴.若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4,则抛 物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0) 4.(2017 北京理,18,14 分)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点作直线 l
17、 与抛物线 C 交于不同的两 (0, 1 2) 点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点. (1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段 BM 的中点. 解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p=. 所以抛物线 C 的方程为 y2=x. 抛物线 C 的焦点坐标为,准线方程为 x=-. ( 1 4,0) (2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+ (k0),l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).
18、由得 4k2x2+(4k-4)x+1=0. = + 1 2, 2= x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 x1+x2=,x1x2=. 1 - 2 1 4 2 因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为(x1,x1).直线 ON 的方程为 y=x,点 B 的 2 2 坐标为. (1, 21 2) 因为 y1+-2x1= 21 2 12+ 21- 212 2 = (1 + 1 2)2 + (2 + 1 2)1 - 212 2 =0, (2 - 2)12+ 1 2 ( 2+ 1) 2 (2 - 2) 1 4 2 + 1 - 2 2 2 所以 y1
19、+=2x1. 21 2 故 A 为线段 BM 的中点. 方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据 根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解. 易错警示 在设直线方程时,若要设成 y=kx+m 的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成 x=ty+n 的形式, 注意先讨论斜率是不是 0. C 组 教师专用题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则 k=( ) A.B.1C.D.2 答案 D 2.(2014 辽宁,8,5 分)已知
20、点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为 ( ) A.-B.-1 C.-D.- 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.(2014 课标,10,5 分)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|=x0,则 x0=( ) A.1B.2C.4D.8 答案 A 4.(2017 山东,15,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 2 2 2 2 x2=2py(p0)交于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近
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