2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测:10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2018 浙江,17,21 直线与椭圆、 抛物线的位置关 系 向量、三角形面积 2017 浙江,21 直线与抛物线 的位置关系 不等式、最值 2016 浙江文,19 直线与抛物线 的位置关系 斜率 2015 浙江,19 直线与抛物线 的位置关系 三角形面积、最值 直线与 圆锥曲 线的位 置关系 1.了解圆锥曲线的简单应用. 2.理解数形结合的思想. 3.能解决直线与圆锥曲线的位 置关系等问题. 2014 浙江文,22 直线与抛物线 的位
2、置关系 向量、三角形面积 分析解读 1.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的常考内容,常以解答题的形式呈现,试题具有一定的难 度. 2.直线与圆锥曲线的位置关系综合性较强,要注重与一元二次方程中的判别式、根与系数的关系、函数 的单调性、不等式、平面向量等知识相综合. 3.预计 2020 年高考中,仍将以直线与圆锥曲线的位置关系等问题为重点进行考查. 破考点 【考点集训】 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)设从点P(a,b)分别向椭圆+y2=1与双曲线x2-=1作两条切线PA,PB 2 4 2 4 和 PC,PD,切
3、点分别为 A,B 和 C,D,若 ABCD,则=( ) A.4B.1C.4D.1 答案 D 2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)过点P(-1,1)向抛物线y2=4x作切线PA,PB,切点分别为A,B,过焦点F 分别向 PA,PB 作垂线,垂足分别为 C,D,则FCD 的面积是 . 答案 5 2 炼技法 【方法集训】 方法 圆锥曲线中弦长的求法 1.(2018 浙江金华十校模拟(4 月),21,15 分)已知抛物线 y2=x 和圆 C:(x+1)2+y2=1,过抛物线上的一点 P(x0,y0)(y01),作圆 C 的两条切线,与 y 轴分别交于 A,B 两点. (1)若切线 PB 过抛物
4、线的焦点,求切线 PB 的斜率; (2)求ABP 面积的最小值. 解析 (1)由题意得抛物线的焦点坐标为 F,设切线 PB 的斜率为 k, ( 1 4,0) 则切线 PB 的方程为 y=k,即 kx-y-k=0. ( - 1 4) =1,解得 k=. |( - 1) - 1 4k| 2+ 1 P(x0,y0)(y01),k=. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设切线方程为 y=kx+m(k0),由点 P 在直线上得,k=, 0- m 0 圆心 C 到切线的距离为=1,整理得 m2-2km-1=0. | - + | 2+ 1 将代入得,(x0+2)m2-2y0m-x0=0. 设
5、方程的两个根分别为 m1,m2,由根与系数的关系得,m1+m2=,m1m2=-, 2 0 0+ 2 0 0+ 2 从而|AB|=|m1-m2|=2,(1+ 2)2- 412 2 0+ 30 ( 0+ 2)2 SABP=|AB|x0=x0=(x01). 2 0+ 30 ( 0+ 2)2 2 0 ( 2 0+ 30) ( 0+ 2)2 记函数 g(x)=(x1), 2 ( 2 + 3x) ( + 2)2 则 g(x)=0, 2(22+ 11x + 18) ( + 2)3 g(x)min=g(1)=,SABP的最小值为. 2.(2018 浙江五校联考(5 月),21)如图,已知椭圆 C:+=1(ab
6、0)的离心率为,焦距为 2. 2 2 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 与椭圆切于点 P,OQl,垂足为 Q,其中 O 为坐标原点.求OPQ 面积的最大值. 解析 (1)由题意得椭圆 C 的离心率为,则 a2=4c2,b2=3c2,椭圆 C 的方程为+=1, 2 4 2 2 3 2 2c=2,即 c=1,椭圆 C 的方程为+=1.(6 分) 2 4 2 3 (2)设直线l:y=kx+m(k0),则根据题意,得OQ:y=-x(k0),联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, = + , 2 4 + 2 3 = 1, 由 =0 得 3+4k2=m2, 解得 xP=,
7、(9 分) - 8 2(3 + 42) 4 - 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 联立解得 xQ=, = + , =- 1 x, - 1 + 2 |PQ|=,1 + 2| - 1 + 2 + 4 | SOPQ= | 2 | 1 + 2 1 + 2| - 1 + 2 + 4 | =,当且仅当|k|=1 时取等号.(12 分) | 1 + 2 | 212 综上,=.(15 分) ( )max 过专题 【五年高考】 统一命题、省(区、市)卷题组 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2018课标全国理,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N
8、两点, 则=( ) A.5B.6C.7D.8 答案 D 2.(2017 课标全国理,10,5 分)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 3.(2015 江苏,12,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x- y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案
9、 2 2 4.(2018 课标全国文,20,12 分)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明:ABM=ABN. 解析 (1)当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线 BM 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1. (2)当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以ABM=ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,
10、y2),则 x10,x20. 由得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2=,y1y2=-4. = ( - 2), 2= 2x 直线 BM,BN 的斜率之和为 kBM+kBN=+=. 1 1+ 2 2 2+ 2 21+ 12+ 2(1+ 2) ( 1+ 2)(2+ 2) 将 x1=+2,x2=+2 及 y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得 1 2 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0. 2 12+ 4k(1+ 2) - 8 + 8 所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以ABM=ABN. 综上,ABM=ABN. 方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及
11、解题策略: (1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程, 解 方程即可. (2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某 个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距 离或点到直线的距离. (3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一 些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的 表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.
12、5.(2018 课标全国文,20,12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:+=1 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 2 4 2 3 M(1,m)(m0). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明:kb0)的一个焦点,C1与 C2的 2 2 2 2 公共弦的长为 2. 6 (1)求 C2的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A,B 两点,与 C2相交于 C,D 两点,且与同向. (i)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (ii)设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕
13、点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形. 解析 (1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点,所以 a2-b2=1. 又 C1与 C2的公共弦的长为 2,C1与 C2都关于 y 轴对称,且 C1的方程为 x2=4y,由此易知 C1与 C2的公共点 6 的坐标为,所以+=1. ( 6, 3 2) 9 4 2 6 2 联立得 a2=9,b2=8.故 C2的方程为+=1. 2 9 2 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). (i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而 x3-x1=x4-x
14、2,即 x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2- 4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4. 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. = + 1, 2= 4y 由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而 x3,x4是这个方程的两根,所以 x3+x4=-,x3x4=- = + 1, 2 8 + 2 9 = 1 16 9 + 82 64 9 + 82 . 将代入,得 16(k2+1)=+, 1622 (9 + 82)2 4 64 9 + 82 即 16(k2+1)=,
15、 162 9(2+ 1) (9 + 82)2 所以(9+8k2)2=169,解得 k=,即直线 l 的斜率为. 6 4 6 4 (ii)证明:由 x2=4y 得 y=,所以 C1在点 A 处的切线方程为 y-y1=(x-x1),即 y=-. 1 2 1x 2 2 1 4 令 y=0,得 x=,即 M,所以=.而=(x1,y1-1),于是=-y1+1=+10, 1 2 ( 1 2 ,0) ( 1 2 , - 1) 2 1 2 2 1 4 因此AFM 是锐角,从而MFD=180-AFM 是钝角. 故直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 教
16、师专用题组 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2017课标全国文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方), l 3 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A.B.2C.2D.3 5233 答案 C 2.(2014 课标,10,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为 坐标原点,则OAB 的面积为( ) A.B.C.D. 33 4 93 8 63 32 答案 D 3.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y
17、2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B, 记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) A.B.C.D. 答案 D 4.(2018北京文,20,14分)已知椭圆M:+=1(ab0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭 2 2 2 2 6 3 2 圆 M 有两个不同的交点 A,B. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若 k=1,求|AB|的最大值; (3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C,D 和点 Q 共线,求 k. ( - 7 4, 1 4) 解析 (1)由题意得 2= 2+ 2,
18、= 6 3 , 2 = 2 2, 解得 a=,b=1. 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以椭圆 M 的方程为+y2=1. 2 3 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得 4x2+6mx+3m2-3=0. = + , 2 3 + 2= 1 所以 x1+x2=-,x1x2=. 3 2 32- 3 4 |AB|= ( 2- 1)2+ (2- 1)2 2(2- 1)2 =2(1+ 2)2- 412 =. 12 - 32 2 当 m=0,即直线 l 过原点时,|AB|最大,最大值为. 6 (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意
19、得+3=3,+3=3. 21212222 直线 PA 的方程为 y=(x+2). 1 1+ 2 由 = 1 1+ 2(x + 2), 2+ 32= 3, 得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0. 212121 设 C(xC,yC). 所以 xC+x1=. - 122 1 ( 1+ 2)2+ 321 4 2 1- 12 4 1+ 7 所以 xC=-x1=. 4 2 1- 12 4 1+ 7 - 12 - 71 4 1+ 7 所以 yC=(xC+2)=. 1 1+ 2 1 4 1+ 7 设 D(xD,yD).同理得 xD=,yD=. - 12 - 72 4 2+ 7 2 4
20、2+ 7 记直线 CQ,DQ 的斜率分别为 kCQ,kDQ, 则 kCQ-kDQ=- 1 4 1 + 7 - 1 4 - 12 - 71 4 1 + 7 + 7 4 2 4 2 + 7 - 1 4 - 12 - 72 4 2 + 7 + 7 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =4(y1-y2-x1+x2). 因为 C,D,Q 三点共线, 所以 kCQ-kDQ=0. 故 y1-y2=x1-x2. 所以直线 l 的斜率 k=1. 1- 2 1- 2 5.(2018 课标全国理,19,12 分)设椭圆 C:+y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点
21、M 的 2 2 坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:OMA=OMB. 解析 (1)由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1, 由已知可得,点 A 的坐标为或. (1, 2 2 ) (1, - 2 2 ) 所以 AM 的方程为 y=-x+或 y=x-. 2 2 2 2 2 2 (2)证明:当 l 与 x 轴重合时,OMA=OMB=0, 当 l 与 x 轴垂直时,直线 OM 为 AB 的垂直平分线, 所以OMA=OMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时, 设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B
22、(x2,y2), 则 x1b0). 2 2 2 2 又点在椭圆 C 上, ( 3, 1 2) 所以解得 3 2 + 1 4 2 = 1, 2- 2= 3, 2= 4, 2= 1. 因此,椭圆 C 的方程为+y2=1. 2 4 因为圆 O 的直径为 F1F2,所以其方程为 x2+y2=3. (2)设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0,y0)(x00,y00),则+=3. 2020 所以直线 l 的方程为 y=-(x-x0)+y0,即 y=-x+. 0 0 0 0 3 0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由消去 y,得 2 4 + 2= 1, =- 0 0x + 3 0 (4+)x2
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