(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练:中档大题规范练(四)立体几何与空间向量理.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (四)立体几何与空间向量(四)立体几何与空间向量 1(2018四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF 是正方形,ABDC,ABAD1,CD2,ACEC.5 (1)求证:平面EBC平面EBD; (2)设M为线段EC上一点,3,求二面角MBDE的平面角的余弦值EM EC (1)证明 由AD1,CD2,AC,5 得AD2CD2AC2, ADC为直角三角形,且ADDC, 同理EDC为直角三角形,且EDDC. 又四边形ADEF是正方形,ADDE. 又ABDC,DAAB. 在梯形ABCD中,过点B作BHCD于点H, 故
2、四边形ABHD是正方形 在BCH中,BHCH1, BCH45,BC,2 BDC45,DBC90,BCBD. EDAD,EDDC,ADDCD,AD,DC平面ABCD, ED平面ABCD, 又BC平面ABCD,EDBC, 又BDEDD,BD,ED平面EBD, BC平面EBD, 又BC平面EBC,平面EBC平面EBD. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)解 由(1)可得DA,DC,DE两两垂直,以D为原点,DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0) 令M(0,y0,z0),
3、则(0,y0,z01),(0,2,1),EM EC 3,EM EC (0,3y0,3z03)(0,2,1), 点M的坐标为. (0, 2 3, 2 3) BC平面EBD, (1,1,0)是平面EBD的一个法向量BC 设平面MBD的法向量为m m(x,y,z) (1,1,0),DB DM (0, 2 3, 2 3) 则Error!即Error! 可得xyz. 令y1,得m m(1,1,1) cosm m, .BC m mBC |m m|BC | 2 3 2 6 3 由图形知二面角MBDE为锐角, 二面角MBDE的平面角的余弦值为. 6 3 2(2018安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方
4、形的四棱锥POABC,且PO底面 OABC,过OA的平面与侧面PBC的交线为DE,且满足SPDESPBC14. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明:PA平面OBD; (2)当S3S时,求二面角BOEC的余弦值 2四边形OABC2POB (1)证明 由题意知四边形OABC为正方形, OABC,又BC平面PBC,OA平面PBC, OA平面PBC, 又OA平面OAED,平面OAED平面PBCDE, DEOA,又OABC, DEBC. 由PDEPCB,且SPDESPBC14, 知E,D分别为PB,PC的中点 连接AC交OB于点F,则点F为AC的中点,连接DF. DFPA,DF平面O
5、BD,PA平面OBD, PA平面OBD. (2)解 底面OABC为正方形, 且PO底面OABC, PO,OA,OC两两垂直, 以O为坐标原点,OA,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 设OAOC2a,OP2b, 则O(0,0,0),C(0,2a,0),B(2a,2a,0),F(a,a,0), P(0,0,2b),E(a,a,b) PO平面OABC,CF平面OABC,CFPO. 四边形OABC为正方形, CFOB, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又POOBO,PO,OB平面POB, CF平面POB,即CF平面OBE, 平面OBE的一个
6、法向量为(a,a,0)CF 设平面OEC的一个法向量为m m(x,y,z), 而(0,2a,0),(a,a,b)OC OE 由Error!得Error! 取za可得, m m(b,0,a)为平面OCE的一个法向量 设二面角BOEC的大小为, 由图易得为锐角, 由S3S,得POOA, 2四边形OABC2POB 6 3 . b a 6 3 故 cos , |CF m m| |CF |m m| ab a2a2a2b2 5 5 二面角BOEC的余弦值为. 5 5 3(2018宁夏回族自治区银川一中模拟)如图,已知DEF与ABC分别是边长为 1 与 2 的 正三角形,ACDF,四边形BCDE为直角梯形,
7、且DEBC,BCCD,点G为ABC的重心,N 为AB的中点,AG平面BCDE,M为线段AF上靠近点F的三等分点 (1)求证:GM平面DFN; (2)若二面角MBCD的余弦值为,试求异面直线MN与CD所成角的余弦值 7 4 (1)证明 在ABC中,连接AG并延长交BC于点O,连接ON,OF. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为点G为ABC的重心, 所以 ,且O为BC的中点 AG AO 2 3 又,AM 2 3AF 所以 , AG AO AM AF 2 3 所以GMOF. 因为点N为AB的中点, 所以NOAC. 又ACDF, 所以NODF, 所以O,D,F,N四点共面, 又OF平面D
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