(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练:压轴大题突破练(四)函数与导数(2)理.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (四)函数与导数(2)(四)函数与导数(2) 1(2018江西省重点中学协作体联考)已知f(x)ex,g(x)x2ax2xsin x1. (1)证明:1xex(x0,1); 1 1x (2)若x0,1)时,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围 (1)证明 设h(x)ex1x,则h(x)ex1, 故h(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增 从而h(x)h(0)0,即 ex1x. 而当x0,1)时,ex1x,即 ex. 1 1x (2)解 设F(x)f(x)g(x) ex(x2ax2xsin x1), 则F(0)0, F(x)ex(2xa
2、2xcos x2sin x) 要求F(x)0 在0,1)上恒成立,必须有F(0)0. 即a1. 以下证明:当a1 时,f(x)g(x) 只要证 1xx2x2xsin x1, 只要证 2sin xx在0,1)上恒成立 令(x)2sin xx, 则(x)2cos x10 对x0,1)恒成立, 又(0)0,所以 2sin xx,从而不等式得证 2(2018宿州质检)设函数f(x)xaxln x(aR R) (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)的极大值点为x1,证明:f(x)exx2. (1)解 f(x)的定义域为(0,),f(x)1aln xa, 当a0 时,f(x)x, 则函数f
3、(x)在区间(0,)上单调递增; 当a0 时,由f(x)0 得x 1 e a a , 由f(x)0 得 0 1 e a a , 所以函数f(x)在区间上单调递增,(0,) 在区间上单调递减(,) 综上所述,当a0 时, 函数f(x)在区间(0,)上单调递增; 当a0 时,函数f(x)在区间上单调递减,(0,) 在区间上单调递增;(,) 当a0), ex x 则F(x) 1 1 x exxex x2 . x 1 xex x2 令g(x)xex, 得函数g(x)在区间(0,)上单调递增 而g(1)1 0,g(0)10. 故F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增 F(x)minF(
4、x0)ln x0 x01. x0 又 0 e x x0, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 F(x)minln x0x01 x0 x01x010. F(x)F(x0)0 成立, 即f(x)exx2成立 3(2018皖江八校联考)已知函数f(x). ax2xa 2ex (1)若a0,函数f(x)的极大值为,求实数a的值; 5 2e (2)若对任意的a0,f(x)在x0,)上恒成立,求实数b的取值范围 b ln x 1 2 解 (1)由题意, f(x) (2ax1)ex(ax2xa)ex 1 2 exax2(12a)xa1 1 2 ex(x1)(ax1a) 1 2 当a0 时,f(x)
5、ex(x1), 1 2 令f(x)0,得x1, 所以f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减 所以f(x)的极大值为f(1),不合题意 1 2e 5 2e 当a0 时,1 0,得 1 1, 1 a 所以f(x)在上单调递增, (1 1 a,1) 在,(1,)上单调递减 (,1 1 a) 所以f(x)的极大值为f(1),得a2. 2a1 2e 5 2e 综上所述a2. (2)令g(a),a(,0, x2 1 a 2ex x 2ex 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当x0,)时,0, x21 2ex 则g(a)对a(,0恒成立等价于g(a)g(0), b ln x 1 2 b
6、 ln x 1 2 即bln(x1)对x0,)恒成立 x ex 当b0 时,显然bln(x1)在0,)上不恒成立 x ex 当b0, x ex 此时bln(x1),不合题意 x ex 当b0 时,令h(x)bln(x1),x0,), x ex 则h(x)(exxex), b x1 bexx21 x1ex 其中(x1)ex0,x0,), 令p(x)bexx21,x0,), 则p(x)在区间0,)上单调递增, b1 时,p(x)p(0)b10, 所以对x0,),h(x)0, 从而h(x)在0,)上单调递增, 所以对任意x0,),h(x)h(0)0, 即不等式bln(x1)xex在0,)上恒成立 0
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