江苏省2019高考数学二轮复习专题五函数不等式与导数5.4大题考法_函数与导数的综合问题达标训练含解.doc
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1、函数与导数的综合问题A组大题保分练1已知函数f(x)aexx2bx(a,bR)(1)设a1,若函数f(x)在R上是单调递减函数,求b的取值范围;(2)设b0,若函数f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)exx2bx,f(x)ex2xb,由题意知,f(x)ex2xb0对xR恒成立由ex2xb0,得bex2x.令F(x)ex2x,则F(x)ex2,由F(x)0,得xln 2.当xln 2时,F(x)0,F(x)单调递增,当xln 2时,F(x)0,F(x)单调递减,从而当xln 2时,F(x)取得最大值2ln 22,b2ln 22,故b的取值范围为2ln 22,
2、)(2)当b0时,f(x)aexx2.由题意知aexx20只有一个解由aexx20,得a,令G(x),则G(x),由G(x)0,得x0或x2.当x0时,G(x)0,G(x)单调递减,故G(x)的取值范围为0,);当0x2时,G(x)0,G(x)单调递增,故G(x)的取值范围为;当x2时,G(x)0,G(x)单调递减,故G(x)的取值范围为.由题意得,a0或a,从而a0或a,故若函数f(x)在R上只有一个零点,则a的取值范围为02已知函数f(x)(1b)xaln x(a0)在x2a处取得极值(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)x22cx4ln 2,当a1时,若对任意的x1,x21
3、,e都有f(x1)g(x2),求实数c的取值范围解:(1)由f(x)(1b)xaln x,a0,x0,得f(x)1b.又f(x)在x2a处取得极值,所以f(2a)1bb0,所以f(x)xaln x,f(x)1,又a0,且函数f(x)的定义域为(0,),所以由f(x)0,得x2a;由f(x)0,得0x2a,即函数f(x)的单调递增区间为(2a,),单调递减区间为(0,2a)(2)当a1时,f(x)xln x,x(0,),由(1)知x1,e时,f(x)在1,2上单调递减,在(2,e上单调递增,所以f(x)minf(2)3ln 2.对任意的x1,x21,e都有f(x1)g(x2),即f(x)ming
4、(x),x1,e恒成立即3ln 2x22cx4ln 2,x1,e恒成立,即2cx,x1,e恒成立, 令h(x)x,则h(x)10,x1,e,即h(x)x在1,e上单调递增,故h(x)maxh(e)e,所以c.故实数c的取值范围为.3(2018南京、盐城一模)设函数f(x)ln x,g(x)ax3(aR)(1)当a2时,解关于x的方程g(ex)0(其中e为自然对数的底数);(2)求函数(x)f(x)g(x)的单调增区间;(3)当a1时,记h(x)f(x)g(x),是否存在整数,使得关于x的不等式2h(x)有解?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由(参考数据:ln 20.693 1,ln
5、31.098 6)解:(1)当a2时,方程g(ex)0,即为2ex30,去分母,得2(ex)23ex10,解得ex1或ex,故所求方程的根为x0或xln 2.(2)因为(x)f(x)g(x)ln xax3(x0),所以(x)a(x0),当a0时,由(x)0,解得x0;当a1时,由(x)0,解得x;当0a0,解得x0;当a1时,由(x)0,解得x0;当a0,解得0x.综上所述,当a1时,(x)的单调增区间为. (3)存在满足题意的.当a1时,g(x)x3,所以h(x)(x3)ln x,所以h(x)ln x1在(0,)上单调递增因为hln120,所以存在唯一x0,使得h(x0)0,即ln x010
6、,当x(0,x0)时,h(x)0,所以h(x)minh(x0)(x03)ln x0(x03)6,记函数r(x)6,由r(x)0在上恒成立可得r(x)在上单调递增, 所以rh(x0)0)(1)若函数yf(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;(2)设a,g(x)f(x)bln x1(bR,b0),g(x)是g(x)的导函数若对任意的x0,g(x)0,求证:存在x0,使g(x0)0;若g(x1)g(x2)(x1x2),求证:x1x20,所以cos x对xR恒成立,因为(cos x)max1,所以1,从而0a1.所以实数a的取值范围是(0,1(2)证明:g(x)xsin xbln x1,所以g
7、(x)1cos x.若b0,使g1cos0.取x0e,则0x01.此时g(x0)x0sin x0bln x011bln e10,使g(x0)0.依题意,不妨设0x11.由(1)知函数yxsin x单调递增,所以x2sin x2x1sin x1.从而x2x1sin x2sin x1.因为g(x1)g(x2),所以x1sin x1bln x11x2sin x2bln x21,所以b(ln x2ln x1)x2x1(sin x2sin x1)(x2x1)所以2b0.下面证明,即证明,只要证明ln t1),所以h(t)0在(1,)上恒成立所以h(t)在(1,)上单调递减,故h(t),即x1x20),令
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