江苏省2019高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理8.2数学归纳法达标训练含解析20190.doc
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1、数学归纳法A组大题保分练1(2018南通三模)已知函数f0(x)(a0,bcad0)设fn(x)为fn1(x)的导数,nN*.(1)求f1(x),f2(x);(2)猜想fn(x)的表达式,并证明你的结论解:(1)f1(x)f0(x),f2(x)f1(x).(2)猜想fn(x),nN*.证明:当n1时,由(1)知结论成立,假设当nk(kN*且k1)时结论成立,即有fk(x).当nk1时,fk1(x)fk(x)(1)k1ak1(bcad)k!(axb)(k1).所以当nk1时结论成立由得,对一切nN*结论都成立2(2018镇江模拟)证明:对一切正整数n,5n23n11都能被8整除证明:(1)当n1
2、时,原式等于8,能被8整除;(2)假设当nk(k1,kN*)时,结论成立,即5k23k11能被8整除设5k23k118m,mN*,当nk1时,5k123k15(5k23k11)43k145(5k23k11)4(3k11),而当k1,kN*时,3k11显然为偶数,设为2t,tN*,故5k123k15(5k23k11)4(3k11)40m8t(m,tN*),也能被8整除,故当nk1时结论也成立;由(1)(2)可知,对一切正整数n,5n23n11都能被8整除3已知Sn1(n2,nN*),求证:S2n1(n2,nN*)证明:(1)当n2时,S2nS411,即n2时命题成立;(2)假设当nk(k2,kN
3、*)时命题成立,即S2k11,则当nk1时,S2k111111,故当nk1时,命题成立由(1)和(2)可知,对n2,nN*不等式S2n1都成立4(2018常州期末)记(x1)(n2且nN*)的展开式中含x项的系数为Sn,含x2项的系数为Tn.(1)求Sn;(2)若an2bnc,对n2,3,4成立,求实数a,b,c的值;(3)对(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:对任意n2且nN*,an2bnc都成立解:(1)因为(x1)(1x)(12x)(1nx)1(12n)xn!xn,所以Sn.(2)由题意及(1)可知,又an2bnc,则解得a,b,c.(3)证明:当n2时,由(2)知等式成立假设当
4、nk(kN*,且k2)时,等式成立,即k2k.当nk1时,由f(x)(x1)知Tk1SkTk,所以.又(k1)2(k1)上式,即等式(k1)2(k1)也成立综上可得,对任意n2且nN*,都有an2bnc成立B组大题增分练1(2018南通、泰州一调)用数学归纳法证明:当xN*时,cos xcos 2xcos 3xcos nx(xR,且x2k,kZ)证明:当n1时,等式右边cos x等式左边,等式成立假设当nk时等式成立,即cos xcos 2xcos 3xcos kx.那么,当nk1时,有cos xcos 2xcos 3xcos kxcos(k1)xcos(k1)xsin(k1)xcosxcos
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