2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练:专项强化练四 导函数不可求零点的导数综合问题 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专项强化练四 导函数不可求零点的导数综合问题专项强化练四 导函数不可求零点的导数综合问题 1.已知函数 f(x)=x2ex-ln x,求证:当 x0 时,不等式 f(x)1. 证明 f (x)=x(x+2)ex- ,x0. 1 则 f (x)=(x2+4x+2)ex+ 0, 1 2 故 f (x)在(0,+)上单调递增. 又 f =-40, ( 1 4) 9 16e 1 4 ( 1 2) 5 4e 1 2 根据零点存在性定理可知, 存在 x0,使得 f (x0)=0. ( 1 4, 1 2) 当 x(0,x0)时, f (x)0,故 f(x)在(x0
2、,+)上单调递增. 故 f(x)min=f(x0)=-ln x0.2 0e 0 由 f (x0)=0,得 x0(x0+2)- =0,e0 1 0 即 x0(x0+2)= ,=.e0 1 0 e0 1 2 0(0+ 2) 故 f(x0)=-ln x0=-ln x0,其中 x0.2 0e 0 1 0+ 2 ( 1 4, 1 2) 令 g(x)=-ln x,x. 1 + 2 ( 1 4, 1 2) 则 g(x)=- g= -ln 1,即 f(x0)1. ( 1 2) 2 5 1 2 综上,有 f(x)min1,则当 x0 时,不等式 f(x)1. 2.已知函数 f(x)=e2x-aln x,求证:当
3、 a0 时, f(x)2a+aln . 2 证明 f (x)=2e2x- ,x0. f (x)有零点,等价于方程 2e2x- =0 有实根,等价于方程 2e2x= 有实根,等价于 函数 y=2e2x与函数 y= 的图象有交点. 显然,当 a0 时,两个函数图象有一个交点. 因此,当 a0 时, f (x)只有一个零点. 当 a0 时, f (x)在(0,+)上单调递增,且只有一个零点,设此零点为 x0,则 f (x0)=0. 当 x(0,x0)时, f (x)0, f(x)在(x0,+)上单调递增. 故 f(x)min=f(x0)=-aln x0.e20 由 f (x0)=0,得 2- =0,
4、即=,即 ln =ln a-ln 2x0,化简得 ln e20 0 e20 20 e20 x0=ln a-ln 2-2x0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 f(x0)=-a(ln a-ln 2-2x0)=+2ax0+aln 2a+aln . 20 20 2 2 故 f(x)min2a+aln ,即当 a0 时, f(x)2a+aln . 2 2 3.已知函数f(x)=,当x0时, f(x)恒成立,求正整数k的最大值. 1 + ln( + 1) + 1 解析 由已知得 k0 上恒成立. ( + 1)1 + ln( + 1) 令 h(x)=,x0,只需 k0,得 (x)在(0,+
5、)上单调递增. + 1 又 (2)=1-ln 30,根据零点存在性定理可知,存在 x0(2,3),使得 (x0)=0. 当 x(0,x0)时,(x)0,h(x)0,h(x)在(x0,+)上单调递增. 故 h(x)min=h(x0)=. (0+ 1)1 + ln(0+ 1) 0 由 (x0)=0,得 x0-1-ln(x0+1)=0,即 x0=1+ln(x0+1). 则 h(x0)=x0+1(3,4). 故正整数 k 的最大值为 3. 4.已知函数 f(x)=aex+-2(a+1)0 对任意的 x(0,+)恒成立,其中 a0. + 1 求 a 的取值范围. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
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