三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合理含解析55.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 08 导数与不等式、函数零点相结合专题 08 导数与不等式、函数零点相结合 考纲解读明方向 考纲内容考 点考查频度 学科素养 规律与趋向 1.利用导数研究函数的 单调性、极(最)值,并 会解决与之有关的方程 (不等式)问题; 2.会利用导数解决某些 简单的实际问题. 1.1.导数与不等 式 3年3考 逻辑推理 数学计算 1 1.高频考向:利用导数解决与 之有关的方程(不等式)问题 2 2.低频考向:利用导数解决某 些实际问题. 3 3.特别关注: 利用导数研究函数的零点问题. 2018 年高考全景展示 1.【2018 年全国卷理】已知函数 (1
2、)若,证明:当时,;当时,; (2)若是的极大值点,求 【答案】 (1)见解析(2) 当时,; 当时,.故当时,且仅当时, ,从而,且仅当时,. 所以在单调递增.又,故当时,;当时,. (2) (i)若,由(1)知,当时,这与是的极大 值点矛盾. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (ii)若,设函数. 由于当时,故与符号相同. 又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点. .如果,则当, 且时,故不是的极大值点.如果,则存 在根, 故当, 且时, 所以不是的极大值点.如果, 则.则当时,;当时,.所以是的极 大值点,从而是的极大值点,综上,. 点睛:本题考查函数与导数的综合应用,利用函数
3、的单调性求出最值证明不等式,第二问分类讨论和 ,当时构造函数时关键,讨论函数的性质,本题难度较大。 2 【2018 年理数全国卷 II】已知函数 (1)若,证明:当时,; (2)若在只有一个零点,求 【答案】 (1)见解析(2) 【解析】分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减, 最后根据单调性证得不等式,(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数: ,这里产生两个讨论点,一个是 a 与零,一个是 x 与 2,当时,没有 零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充 分性,即得 a 的值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
4、打印 (2)设函数 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点 (i)当时,没有零点; (ii)当时, 当时,;当时, 所以在单调递减,在单调递增 故是在的最小值 若,即,在没有零点; 若,即,在只有一个零点; 若,即,由于,所以在有一个零点, 由(1)知,当时,所以 故在有一个零点,因此在有两个零点 综上,在只有一个零点时, 点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解. 3 【2018 年江苏卷】某农场有一块农田,如图所示,它的边
5、界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 和线段MN构成 已知圆O的半径为 40 米, 点P到MN的距离为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚, 大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧 上设OC与MN所成的角为 (1)用 分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【答案】 (1)矩形ABCD的面积为 800(4sincos+cos)平方米,CDP的面积为 1600(cos
6、sincos) ,sin的取值范围是 ,1) (2)当= 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公 式得结果,最后根据实际意义确定的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再 根据单调性确定函数最值取法. 详解: 解 : (1) 连结PO并延长交MN于H, 则PHMN, 所以OH=10 过O作OEBC于E, 则OEMN, 所以COE=, 故OE=40cos,EC=40sin, 则矩形ABCD的面积为 240cos(40sin+10)=800(4sincos+cos) , CDP的面积为
7、240cos(4040sin)=1600(cossincos) 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10 令GOK=0,则 sin0= ,0(0, ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当0, )时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以 sin的取值范围是 ,1) 答:矩形ABCD的面积为 800(4sincos+cos)平方米,CDP的面积为 1600(cossincos) ,sin的取值范围是 ,1) 令,得= ,当(0, )时,所以f()为增函数 ; 当( , )时, 所以f()为减函数,因此,当= 时,f()取到最大值 答:当= 时,能使甲、乙两种
8、蔬菜的年总产值最大 点睛:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解 决问题. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 3,理 11】已知函数 211 ( )2() xx f xxxa ee 有唯一零点,则a= A 1 2 B 1 3 C 1 2 D1 【答案】C 【解析】 试题分析:函数的零点满足 211 2 xx xxa ee , 设 11xx g xee ,则 21 111 11 11 x xxx xx e gxeee ee , 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 0gx时,1x ,当1x 时, 0gx,函数 g x 单调递
9、减, 当1x 时, 0gx,函数 g x 单调递增, 当1x 时,函数取得最小值 12g, 设 2 2h xxx ,当1x 时,函数取得最小值1 , 若0a ,函数 h x与函数 ag x没有交点, 当0a 时, 11agh时,此时函数 h x和 ag x有一个交点, 即21a ,解得 1 2 a .故选 C. 【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的 范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使 得问题变得直观、简单,这也体现了
10、数形结合思想的应用. 2.【2017 课标 1,理 21】已知函数 2 ( )(2) xx f xaeaex. (1)讨论( )f x的单调性; (2)若( )f x有两个零点,求a的取值范围. 【解析】 试题分析 : (1)讨论( )f x单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,在对a按0a , 0a 进行讨论, 写出单调区间 ; (2) 根据第 (1) 题, 若0a ,( )f x至多有一个零点.若0a , 当lnxa 时,( )f x取得最小值, 求出最小值 1 ( ln )1lnfaa a , 根据1a , (1,)a , (0,1)a进行讨论, 可知当(0,1)a有
11、2 个零点,设正整数 0 n满足 0 3 ln(1)n a ,则 0000 0000 ()e ( e2)e20 nnnn f naannn.由于 3 ln(1)lna a ,因此( )f x在( ln ,)a 有一个零点.所以a的取值范围为(0,1). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2) ()若0a ,由(1)知,( )f x至多有一个零点. ()若0a ,由(1)知,当lnxa 时,( )f x取得最小值,最小值为 1 ( ln )1lnfaa a . 当1a 时,由于( ln )0fa,故( )f x只有一个零点; 当(1,)a时,由于 1 1ln0a a ,即( ln )
12、0fa,故( )f x没有零点; 当(0,1)a时, 1 1ln0a a ,即( ln )0fa. 又 422 ( 2)e(2)e22e20faa ,故( )f x在(, ln )a 有一个零点. 设正整数 0 n满足 0 3 ln(1)n a ,则 0000 0000 ()e ( e2)e20 nnnn f naannn. 由于 3 ln(1)lna a ,因此( )f x在( ln ,)a有一个零点. 综上,a的取值范围为(0,1). 【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数取值范围. 【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数( )f x有 2 个零点
13、求参 数取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断ya与其 交点的个数,从而求出 a 的范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值, 注意点是若( )f x有 2 个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于 0,且后面还需验证有最小值两边存 在大于 0 的点. 3.【2017 课标 II,理】已知函数 2 lnf xaxaxxx,且 0f x 。 (1)求a; (2)证明: f x存在唯一的极大值点 0 x,且 22 0 2ef x 。 【答案】(1)1a ;(2)证明略。 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【解析】 试
14、题分析:(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得1a ,注意验证结果的正确性; (2)结合(1)的结论构造函数 22lnh xxx,结合 h x的单调性和 f x的解析式即可证得题中的不 等式 22 0 2ef x 。 (2)由(1)知 2 lnf xxxxx, 22lnfxxx。 设 22lnh xxx,则 1 2hx x 。 当 1 0, 2 x 时, 0hx ;当 1 , 2 x 时, 0hx , 所以 h x 在 1 0, 2 单调递减,在 1 , 2 单调递增。 又 2 0h e, 1 0 2 h , 10h , 所以 h x 在 1 0, 2 有唯一零点 0 x,在 1 , 2
15、 有唯一零点 1, 且当 0 0,xx 时, 0h x ;当 0,1 xx 时, 0h x , 当1,x 时, 0h x 。 因为 fxh x ,所以 0 xx是 f x的唯一极大值点。 由 0 0fx得 00 ln21xx,故 000 1f xxx。 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由 0 0,1x 得 0 1 4 f x。 因为 0 xx是 f x在(0,1)的最大值点, 由 1 0,1e, 1 0fe 得 12 0 f xf ee 。 所以 22 0 2ef x 。 【考点】 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最
16、有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点, 所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来 看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 : (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相 联系。 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数。 (3)利用导数求函数的最值 (极值),解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。 4.【2017 天津,理 20】设aZ,已知定义在 R R 上的函数 432 ( )2336f xxxxxa在区间(1,2)内 有一个零点 0 x,( )g x为( )f x的导函数. (
17、)求( )g x的单调区间; ()设 00 1,)(,2mxx,函数 0 ( )( )()( )h xg x mxf m,求证: 0 ( ) ()0h m h x; () 求证 : 存在大于0的常数A, 使得对于任意的正整数, p q, 且 00 1,)(,2, p xx q 满足 0 4 1 | p x qAq . 【答案】 (1)增区间是(, 1) , 1 ( ,) 4 ,减区间是 1 ( 1, ) 4 .(2) (3)证明见解析 试题解析:()由 432 ( )2336f xxxxxa,可得 32 ( )( )8966g xfxxxx, 进而可得 2 ( )24186g xxx.令( )
18、0g x,解得1x ,或 1 4 x . 当x变化时,( ), ( )g x g x的变化情况如下表: 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x(, 1) 1 ( 1, ) 4 1 ( ,) 4 ( )g x+-+ ( )g x 所以,( )g x的单调递增区间是(, 1) , 1 ( ,) 4 ,单调递减区间是 1 ( 1, ) 4 . ()证明:由 0 ( )( )()( )h xg x mxf m,得 0 ( )( )()( )h mg m mxf m, 000 ()()()( )h xg xmxf m. 令函数 10 ( )( )()( )H xg x xxf x,则 10 (
19、)( )()Hxg x xx .由()知,当1,2x时,( )0g x, 故当 0 1,)xx时, 1( ) 0Hx , 1( ) H x单调递减;当 0 (,2xx时, 1( ) 0Hx , 1( ) H x单调递增.因此, 当 00 1,)(,2xxx时, 1100 ( )()()0H xH xf x ,可得 1( ) 0,( )0H mh m即. 令函数 200 ( )()()( )Hxg xxxf x,则 20 ( )()( )Hxg xg x .由()知,( )g x在1,2上单调递增, 故当 0 1,)xx时, 2 ( )0Hx , 2( ) Hx单调递增;当 0 (,2xx时,
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