三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合文含解析56.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 08 导数与不等式、函数零点相结合 文 专题 08 导数与不等式、函数零点相结合 文 考纲解读明方向 考纲内容考 点考查频度学科素养规律与趋向 1.利用导数研究函数的 单调性、极(最)值,并 会解决与之有关的方程 (不等式)问题; 2.会利用导数解决某些 简单的实际问题. 1.导数与不等 式 3年3考 逻辑推理 数学计算 1.高频考向:利用导数解决与 之有关的方程(不等式)问题 2.低频考向:利用导数解决某 些实际问题. 3.特别关注: 利用导数研究函数的零点问题. 2018 年高考全景展示 1.【2018 年浙江卷】已知函数f(x)=lnx
2、()若f(x)在x=x1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)88ln2; ()若a34ln2,证明:对于任意k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点 【答案】 ()见解析 ()见解析 【解析】分析: ()先求导数,根据条件解得x1,x2关系,再化简f(x1)+f(x2)为,利用 基本不等式求得取值范围,最后根据函数单调性证明不等式, ()一方面利用零点存在定理证明函数 有零点,另一方面,利用导数证明函数在上单调递减,即至多 一个零点.两者综合即得结论. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x(0,16)16(16,+) -0+ 2-4ln2 所以g(x
3、)在256,+)上单调递增,故,即 由()可知g(x)g(16) ,又a34ln2,故g(x)1+ag(16)1+a=3+4ln2+a0, 所以h(x)0,即函数h(x)在(0,+)上单调递减,因此方程f(x)kxa=0 至多 1 个实根 综上,当a34ln2 时,对于任意k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点 点睛 : 利用导数证明不等式常见类型及解题策略 : (1) 构造差函数.根据差函数导函数符号, 确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路 为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转
4、化为一元函数. 2.【2018 年全国卷文】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明:当时, 【答案】 (1)切线方程是(2)证明见解析 【解析】分析:(1)求导,由导数的几何意义求出切线方程。 (2)当时,,令,只需证明即 可。 详解:(1),因此曲线在点处的切线方程是 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)当时,令,则 当时,单调递减;当时,单调递增; 所以 因此 点睛:本题考查函数与导数的综合应用,由导数的几何意义可求出切线方程,第二问当时, ,令,将问题转化为证明很关键,本 题难度较大。 3 【2018 年全国卷 II 文】已知函数 (1)若,求的单调区间; (
5、2)证明:只有一个零点 【答案】 (1)f(x)在(,) , (,+)单调递增,在(,)单调递减 (2)f(x)只有一个零点 【解析】分析:(1)将代入,求导得,令求得增区间,令求得减区 间 ; (2)令,即,则将问题转化为函数 只有一个零点问题,研究函数单调性可得. (2)由于,所以等价于 设=, 则g (x) =0, 仅当x=0 时g (x) =0, 所以g(x) 在 (, +) 单调递增故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点 又f(3a1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点 综上,f(x)只有一个零点 点睛 : (1)用导数求函数单调区间的步骤如下 : 确定函数的定
6、义域 ; 求导数; 由(或 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 )解出相应的 的取值范围,当时,在相应区间上是增函数;当时,在相 应区间上是减增函数. (2)本题第二问重在考查零点存在性问题,解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点,可先 证明其单调,再结合零点存在性定理进行论证. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 3,文 21】已知函数( )f x=lnx+ax2+(2a+1)x (1)讨论( )f x的单调性; (2)当a0 时,证明 3 ( )2 4 f x a 【答案】 (1)当0a时,)(xf在), 0( 单调递增;当0a时,则)(xf在) 2 1 , 0(
7、 a 单调递增,在 ), 2 1 ( a 单调递减;(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)先求函数导数 (21)(1) ( )(0) axx fxx x ,再根据导函数符号变化情况讨论 单调性 : 当0a时,0)( xf,则)(xf在), 0( 单调递增,当0a时,则)(xf在) 2 1 , 0( a 单调递增, 在), 2 1 ( a 单调递减.(2)证明 3 ( )2 4 f x a ,即证 max 3 ( )2 4 f x a ,而) 2 1 ()( max a fxf, 所以目标函数为1 2 1 ) 2 1 ln()2 4 3 () 2 1 ( aaaa f,即tty1ln (0 2
8、 1 a t) ,利用导数 易得0) 1 ( max yy,即得证. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【考点】利用导数求单调性,利用导数证不等式 【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1) 构造差函数( )( )( )h xf xg x.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关 系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大 小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 2.【2017 天津,文 19】设, a bR,| 1a .已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb,(
9、)e( ) x g xf x. ()求( )f x的单调区间; ()已知函数( )yg x和exy 的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:( )f x在 0 xx处的导数等于 0; (ii)若关于x的不等式( )exg x 在区间 00 1,1xx上恒成立,求b的取值范围. 【答案】 ()递增区间为(, )a,(4,)a,递减区间为(),4aa.(2) ()( )f x在 0 xx处的导 数等于 0.()b的取值范围是 7 ,1. 【解析】 试题分析:()先求函数的导数 34fxxaxa ,再根据1a ,求得两个极值点的大小 关系,4aa,再分析两侧的单调性,求得函数的单调
10、区间 ; () ()根据 g x与 x e有共同的切线, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 根据导数的几何意义建立方程,求得 0 0fx,得证;()将不等式转化为 1f x ,再根据前两问 可知 0 x是极大值点 0 xa,由(I)知( )f x在(, )1aa内单调递增,在(),1a a内单调递减,从而 1f xf a在1,1aa上恒成立,得 32 261baa,11a ,再根据导数求函数的取值范 围. (II) (i)因为( )e ( ( )( ) x xxgff x,由题意知 0 0 0 0 ()e ()e x x x x g g , 所以 0 00 0 0 00 ()ee e
11、 ( ()()e x xx x f ff x xx ,解得 0 0 ()1 ()0 f x xf . 所以,( )f x在 0 xx处的导数等于 0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【考点】1.导数的几何意义;2.导数求函数的单调区间;3.导数的综合应用. 【名师点睛】本题本题考点为导数的应用,本题属于中等问题,第一问求导后要会分解因式,并且根据条 件能判断两个极值点的大小关系,避免讨论,第二问导数的几何意义,要注意切点是公共点,切点处的导 数相等的条件,前两问比较容易入手,但第三问,需分析出 0 xa ,同时根据单调性判断函数的最值,涉 及造函数解题较难,这一问思维巧妙,有选拔
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