三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题11解三角形理含解析61.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 11 解三角形 专题 11 解三角形 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型 预测热度 1.正 弦 定 理 和 余 弦 定理 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题 掌握 2017 山东,9;2017 浙江,14; 2017 天津,15;2017 北京,15; 2016 课标全国,13; 2016 天津,3;2015 天津,13 选择题 填空题 2.正、余弦 定 理 的 应 用 能够运用正弦定理、余弦定 理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的 实际问题 掌握 2017 课标全国,17; 2017课标全国,
2、17;2017江苏,18; 2016 课标全国,8; 2016 山东,16;2016 浙江,16; 2015 湖北,13 解答题 分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角 形有关知识. 2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利 用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题. 2018 年高考全景展示 1 【2018 年理数全国卷 II】在中,则 A. B. C. D. 【答案】A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【解析】分析:先根据二倍角余弦公式
3、求 cosC,再根据余弦定理求 AB. 详解:因为所以 ,选 A. 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角 之间的关系,从而达到解决问题的目的. 2【2018年浙江卷】 在ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c 若a=,b=2,A=60, 则sin B=_,c=_ 【答案】 3 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和 角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 3 【2018 年全国卷理】的内角的对边分别为 , , ,若的面积为, 则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分
4、析:利用面积公式和余弦定理进行计算可得。 详解 : 由题可知, 所以, 由余弦定理 ,所以,故选 C. 点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理。 4 【2018 年江苏卷】在中,角所对的边分别为,的平分线交于点D, 且,则的最小值为_ 【答案】9 【解析】分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 详解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得 ,化简得,因此 当且仅当时取等号,则的最小值为 . 点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即 条件要求中字母为
5、正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用, 否则会出现错误. 5 【2018 年理数天津卷】在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知. (I)求角B的大小; (II)设a=2,c=3,求b和的值. 【答案】() ;(),. 【解析】分析:()由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得,则B= ()在ABC中,由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解:()在ABC中,由正弦定理,可得,又由,得 ,即,可得又因为,可得B= 点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系题中若出现边的一 次
6、式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时,注意公式变式的 应用解决三角形问题时,注意角的限制范围 6 【2018 年理北京卷】在ABC中,a=7,b=8,cosB= ()求A; ()求AC边上的高 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】(1) A= (2) AC边上的高为 【解析】分析:(1)先根据平方关系求 sinB,再根据正弦定理求 sinA,即得A;(2)根据三角形面积公 式两种表示形式列方程,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求,解得AC边上的高 详解 : 解 : () 在ABC中, cosB= , B ( , ) , sinB= 由正弦定理
7、得 =,sinA=B( ,) ,A(0, ) ,A= ()在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= 如图所示,在ABC中,sinC=,h=,AC边上的高为 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角 之间的关系,从而达到解决问题的目的. 7 【2018 年理新课标 I 卷】在平面四边形中,. (1)求; (2)若,求. 【答案】 (1) .(2). 【解析】分析:(1)根据正弦定理可以得到,根据题设条件,求得,结合角 的范围,利用同角三角函数关系式,求得;(2)根据题设条件以及第一问的结论可 以求得,之后在中
8、,用余弦定理得到所满足的关系,从而求得结果. 详解 : (1)在中,由正弦定理得.由题设知,所以. 由题设知,所以. (2)由题设及(1)知,.在中,由余弦定理得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 .所以. 点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式 以及余弦定理,在解题的过程中,需要时刻关注题的条件,以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中 寻找角的范围所满足的关系,从而正确求得结果. 2017 年高考全景展示 1.【2017 山东,理 9】在CA中,角A,C的对边分别为a,b,c若CA为锐角三角形, 且满足sin12cosC2si
9、ncosCcossinCAA,则下列等式成立的是 (A)2ab (B)2ba (C)2A (D) 2 A 【答案】A 【解析】试题分析:sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC 所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba,选 A. 【考点】1.三角函数的和差角公式 2.正弦定理. 【名师点睛】本题较为容易,关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦 公式转化为含有A,C的式子,用正弦定理将角转化为边,得到2ab.解答三角形中的问题时,三 角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件,不容忽视. 2.【2017 浙江,14】已知A
10、BC,AB=AC=4,BC=2 点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则BDC的 面积是_,cosBDC=_ 【答案】 1510 , 24 【解析】 试题分析:取BC中点E,DC中点F,由题意:,AEBC BFCD, ABE中, 1 cos 4 BE ABC AB , 1115 cos,sin1 4164 DBCDBC , BC 115 sin 22 D SBDBCDBC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 2 110 cos1 2sin,sin 44 DBCDBFDBF , 10 cossin 4 BDCDBF, 综上可得,BCD面积为 15 2 , 10 cos 4 BD
11、C 【考点】解三角形 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量 全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未 知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形, 有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组) ,解方程(组)得出所要的解 3.【2017 课标 1,理 17】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为 2 3sin a A (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.
12、【解析】 试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式 2 1 sin 23sin a acB A ,再利用正弦定理将边化成角,从而得出 sinsinBC的值;(2)由 1 coscos 6 BC 和 2 sinsin 3 BC 计算出 1 cos() 2 BC ,从而求出角A,根 据题设和余弦定理可以求出bc和bc的值,从而求出ABC的周长为333. 试题解析:(1)由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ,即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A . 故 2 sinsin 3 BC . 高清试卷 下载可打印 高清
13、试卷 下载可打印 【考点】三角函数及其变换. 【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使 用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形 问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边 的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值” ,这类问题通法思路是:全部转化为角的关 系,建立函数关系式,如sin()yAxb,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围; 求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 4.【2017 课标 II,理 17
14、】ABC的内角ABC、 、所对的边分别为, ,a b c,已知 2 sin8sin 2 B AC, (1)求cosB; (2)若6ac,ABC的面积为2,求b。 【答案】(1) 15 cos 17 B ; (2)2b 。 【解析】 试题分析:利用三角形内角和定理可知ACB,再利用诱导公式化简sin()AC,利用降幂公式化 简 2 1 cos sin 22 BB ,结合 22 sincos1BB求出cosB; 利用(1)中结论 0 90B ,利用勾股定理和面 积公式求出acac 、,从而求出b。 试题解析:(1)由题设及ABC, 2 sin8sin 2 B B ,故sin4 1 cosBB。 上
15、式两边平方,整理得 2 17cos32cos150BB, 解得cos1B (舍去), 15 cos 17 B 。 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由 15 cos 17 B 得 8 sin 17 B ,故 ABC 14 =sin 217 SacBac 。 又 ABC=2 S,则 17 2 ac 。 由余弦定理及6ac得: 222 2 2cos 21 cos 1715 3621 217 4 bacacB acacB 。 所以 b=2。 【考点】 正弦定理;余弦定理;三角形面积公式。 【名师点睛】 解三角形问题是高考高频考点, 命题大多放在解答题的第一题, 主要利用三角形的内角和
16、定理, 正、 余弦定理、 三角形面积公式等知识解题, 解题时要灵活利用三角形的边角关系进行 “边转角” “角转边” , 另外要注意 22 ,ac ac ac三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎。 5.【2017 课标 3, 理 17】 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin3cos0AA ,a=2 7,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积. 【答案】(1)4c ; (2)3 【解析】 试题分析:(1)由题意首先求得 2 3 A ,然后利用余弦定理列方程,边长取方程的正实数根可得4c ; (2)利用题意首先求得ABD面积与A
17、CD面积的比值,然后结合ABC的面积可求得ABD的面积为3 . 试题解析:(1)由已知得 tan3A ,所以 2 3 A . 在 ABC中,由余弦定理得 2 2 2844 cos 3 cc ,即 2 2240cc . 解得:6c (舍去),4c . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【考点】 余弦定理解三角形;三角形的面积公式 【名师点睛】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦 定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一 的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有
18、界性和大边对大角定理进 行判断. 6.【2017 北京,理 15】在ABC中,A =60,c= 3 7 a. ()求 sinC的值; ()若a=7,求ABC的面积. 【答案】 () 3 3 14 ;() 9 3 4 . 【解析】 试题分析:()根据正弦定理= sinsin ac AC 求sinC的值;()根据条件可知7,3,ac根据() 的结果求cosC,再利用sinsinBAC求解,最后利用三角形的面积 1 sin 2 SacB. 试题解析:解:()在ABC中,因为60A, 3 7 ca, 所以由正弦定理得 sin333 3 sin 7214 cA C a . ()因为7a ,所以 3 73
19、 7 c . 由余弦定理 222 2cosabcbcA得 222 1 7323 2 bb , 解得8b 或5b (舍). 所以ABC的面积 113 sin8 36 3 222 SbcA . 【考点】1.正余弦定理;2.三角形面积;3.三角恒等变换. 【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 式,要考虑用余弦定理 ; 如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化 ; 以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算 形式” ,其中的
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