三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题19抛物线理含解析77.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 19 抛物线 专题 19 抛物线 考纲解读明方向 考点内容解读要求常考题型预测热度 1.抛物线的定义 及其标准方程 掌握 选择题 解答题 2.抛物线的几何 性质 掌握 选择题 解答题 3.直线与抛物线 的位置关系 掌握抛物线的定义、几何图 形、标准方程及简单性质 掌握 选择题 解答题 分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几 何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的 问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和
2、研究抛物线的性质为主,分值约 为 12 分,属偏难题. 2018 年高考全景展示 1 【2018 年理新课标 I 卷】设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)且斜率为 的直线与C交于M,N 两点,则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 点睛:该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先 需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出,之后借助 于抛物线的方程求得,最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求 得结果,也可以不求点 M、N 的坐标,应用韦达定理得到结果. 2 【2
3、018 年浙江卷】如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B 满足PA,PB的中点均在C上 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴; ()若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围 【答案】 ()见解析() 【解析】分析: ()设P,A,B的纵坐标为,根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标,代入抛物线 方程,可得,即得结论, ()由()可得PAB面积为,利用根与系数的关系 可表示为的函数,根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围. 详解:()设,因为,的中点在抛物线上,所以,为方程
4、, 即的两个不同的实数根所以因此,垂直于 轴 ()由()可知,所以, 因此,的面积因为,所以 因此,面积的取值范围是 点睛:求范围问题,一般利用条件转化为对应一元函数问题,即通过题意将多元问题转化为一元问题,再 根据函数形式,选用方法求值域,如二次型利用对称轴与定义区间位置关系,分式型可以利用基本不等式, 复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性,再根据单调性确定值域. 3 【2018 年理北京卷】已知抛物线C:=2px经过点 (1,2) 过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两 个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()求直线l
5、的斜率的取值范围; ()设O为原点,求证:为定值 【答案】(1) 取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1)(2)证明过程见解析 详解:解:()因为抛物线y2=2px经过点P(1,2) ,所以 4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0,设直线l的方程为y=kx+1(k0) 由得 依题意,解得 k0 或 0k1又PA,PB与 y 轴相交, 故直线l不过点(1,-2) 从而k-3所以直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1) ()设A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由(I)知,直线PA的方程为y2= 令x=0,得点M的纵坐标为同理
6、得点N的纵坐标为 由,得,所以 所以为 定值 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定 点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 1,理 10】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1 与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
7、 A16B14C12D10 【答案】A 【解析】试题分析:设 11223344 ( ,), (,),(,),(,)A x yB xyD xyE xy,直线 1 l方程为 1( 1)yk x 联立方程 2 1 4 (1) yx yk x 得 2222 111 240k xk xxk 2 1 12 2 1 24k xx k 2 1 2 1 24k k 同理直线 2 l与抛物线的交点满足 2 2 34 2 2 24k xx k 由抛物线定义可知 1234 |2ABDExxxxp 22 12 222222 121212 24244416 482816 kk kkkkk k 当且仅当 12 1kk (或
8、1)时,取得等号. 【考点】抛物线的简单性质 【名师点睛】对于抛物线弦长问题,要重点抓住抛物线定义,到定点的距离要想到转化到准线上,另外, 直线与抛物线联立,求判别式、韦达定理是通法,需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进 行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示,设直线的倾斜角为,则 2 2 | cos p AB ,则 2 2 22 | sin cos () 2 pp DE ,所以 2222 2211 |4() cossincossin pp ABDE 22 22 2222 11sincos 4()(cossin)4(2)4 (22)16 cossincossin 2.
9、【2017 课标 II, 理 16】 已知F是抛物线C: 2 8yx的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点 N。若M为FN的中点,则FN 。 【答案】6 【解析】 试题分析: 如图所示,不妨设点 M 位于第一象限,设抛物线的准线与x轴交于点F,做MBl与点B,NAl与点 A, 由抛物线的解析式可得准线方程为2x ,则2,4ANFF, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在直角梯形ANFF中,中位线 3 2 ANFF BM , 由抛物线的定义有:3MFMB,结合题意,有3MNMF, 线段 FN 的长度:336FNFMNM。 【考点】抛物线的定义;梯形中位线在解析几何中的应用。 【名
10、师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物 线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么 用抛物线定义就能解决问题。因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义 转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化。 3.【2017 北京,理 18】已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0, 1 2 )作直线l与抛物线C交于不 同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. ()求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; ()求证:A
11、为线段BM的中点. 【答案】 ()方程为 2 yx,抛物线C的焦点坐标为( 1 4 ,0) ,准线方程为 1 4 x .()详见解析. 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()由题意,设直线l的方程为 1 2 ykx(0k ) ,l与抛物线C的交点为 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy. 由 2 1 2 ykx yx ,得 22 4(44)10k xkx . 则 12 2 1k xx k , 12 2 1 4 x x k . 因为点P的坐标为(1,1) ,所以直线OP的方程为yx,点A的坐标为 11 (,)x y. 直线ON的方程为 2 2 y yx x ,点B
12、的坐标为 21 1 2 ( ,) y y x x . 因为 21122112 11 22 2 2 y yy yy yx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x 0, 所以 21 11 2 2 y y yx x . 故A为线段BM的中点. 【考点】1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系 【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了转换与化归能力,当看到题目中出现直线与圆 锥曲线时,不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程,借助根与系数关
13、系,找准题设条件中突显 的或隐含的等量关系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定要把结果及时求出来,可能需要整 体代换到后面的计算中去,从而减少计算量. 4.【2017 浙江,21】(本题满分 15 分)如图,已知抛物线 2 xy,点A 1 1 () 2 4 , 3 9 () 2 4 B,抛物线上 的点) 2 3 2 1 )(,(xyxP过点B作直线AP的垂线,垂足为Q ()求直线AP斜率的取值范围; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ()求|PQPA 的最大值 【答案】 ()) 1 , 1(;() 27 16 【解析】 试题分析 : ()由两点求斜率公式可得AP的斜率为 2 1 x,
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