浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第13练数列的综合问题.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 13 练 数列的综合问题第 13 练 数列的综合问题 明晰考情 1.命题角度:考查等差数列、等比数列的判定与证明;以an,Sn的关系为切入 点,考查数列的通项、前n项和等 ; 数列和不等式的综合应用.2.题目难度 : 中档难度或偏难 考点一 等差数列、等比数列的判定与证明 方法技巧 判断等差(比)数列的常用方法 (1)定义法 : 若an1and,d为常数, 则an为等差(比)数列 ( an1 an q,q为常数,且q 0) (2)中项公式法 (3)通项公式法 1已知数列an的前n项和为Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中为常数 (1)证明
2、:an2an; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由 (1)证明 由题设知,anan1Sn1, an1an2Sn11, 两式相减得an1(an2an)an1, 由于an10,所以an2an. (2)解 由题设知,a11,a1a2S11, 可得a21. 由(1)知,a31. 令 2a2a1a3, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得4. 故an2an4,由此可得数列a2n1是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n14n3; 数列a2n是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n4n1. 所以an2n1,an1an2, 因此存在4,使得数列an为等差数列 2已知数列an满
3、足a12,且an12an2n1,nN N*. (1)设bn,证明:bn为等差数列,并求数列bn的通项公式; an 2n (2)在(1)的条件下,求数列an的前n项和Sn. 解 (1)把an2nbn代入到an12an2n1, 得 2n1bn12n1bn2n1, 两边同除以 2n1, 得bn1bn1, 即bn1bn1, bn为等差数列,首项b11,公差为 1, a1 2 bnn(nN N*) (2)由bnn,得ann2n, an 2n Sn121222323n2n, 2Sn122223324(n1)2nn2n1, 两式相减,得Sn2122232nn2n1 (1n)2n12, Sn(n1)2n12(
4、nN N*) 3已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN N*) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求数列an的前三项a1,a2,a3; (2)求证:数列为等比数列,并求出an的通项公式 a n2 31 n (1)解 在Sn2an(1)n(nN N*)中分别令n1,2,3, 得Error! 解得Error! (2)证明 由Sn2an(1)n(nN N*),得 Sn12an1(1)n1(n2), 两式相减,得an2an12(1)n(n2), an2an1 (1)n (1)n 4 3 2 3 2an1 (1)n1 (1)n(n2), 4 3 2 3 an (1)n 2
5、 3 2(n2) a n12 31 n1 故数列是以a1 为首项,2 为公比的等比数列 a n2 31 n 2 3 1 3 an (1)n 2n1, 2 3 1 3 an 2n1 (1)n 1 3 2 3 (1)n(nN N)*. 2n1 3 2 3 考点二 数列的通项与求和 方法技巧 (1)根据数列的递推关系求通项的常用方法 累加(乘)法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 形如an1anf(n)的数列,可用累加法; 形如f(n)的数列,可用累乘法 an1 an 构造数列法 形如an1,可转化为 ,构造等差数列; nan mann 1 an1 1 an m n 1 an 形如an1p
6、anq(pq0,且p1),可转化为an1p构造等比数列 q p1(a n q p1) . a n q p1 (2)数列求和的常用方法 倒序相加法;分组求和法;错位相减法;裂项相消法 4已知数列an的首项a11,前n项和为Sn(nN N*),且数列是公差为 2 的等差数列 Sn n (1)求数列an的通项公式; (2)若bn(1)nan,求数列bn的前n项和Tn. 解 (1)由已知得1(n1)22n1, Sn n 所以Sn2n2n. 当n2 时,anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3. 而a11413 满足上式,所以an4n3,nN N*. (2)由(1)可得bn(1)nan(1)n(
7、4n3) 当n为偶数时,Tn(15)(913)(4n7)(4n3)4 2n; n 2 当n为奇数时,n1 为偶数,TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1. 综上,TnError! 5已知数列an,bn满足a1 ,anbn1,bn1. 1 4 bn 1a2 n 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求数列bn的通项公式; (2)设Sna1a2a2a3a3a4anan1,求Sn. 解 (1)bn1 bn 1 an 1 an . bn bn 2 bn 1 2bn a1 ,b1 , 1 4 3 4 因为bn111, 1 2bn bn1 2bn 所以1, 1 bn11 2bn bn1 1
8、 bn1 所以数列是以4 为首项,1 为公差的等差数列, 1 bn1 所以4(n1)n3, 1 bn1 所以bn1(nN N*) 1 n3 n2 n3 (2)因为an1bn, 1 n3 所以Sna1a2a2a3a3a4anan1 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 n 3 n 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 1 n3 1 n4 (nN N*) 1 4 1 n4 n 4 n 4 6已知数列an的前n项和为Sn,若an3Sn4,bnlog2an1. (1)求数列an和bn的通项公式; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)令cn,其中nN N*,若数列cn的前n
9、项和为Tn,求Tn. bn 2n1 1 nn 1 解 (1)由a13S143a14,得a11, 由an3Sn4, 知an13Sn14, 两式相减并化简得an1an, 1 4 数列an是首项为 1,公比为 的等比数列, 1 4 an n1,nN N*, ( 1 4) bnlog2an1log2 n2n(nN N*) ( 1 4) (2)由题意知,cn. n 2n 1 nn 1 令Hn , 1 2 2 22 3 23 n 2n 则Hn, 1 2 1 22 2 23 n1 2n n 2n1 得,Hn 1 2 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1 1. n2 2n1 Hn2. n2 2n
10、又Mn1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1, 1 n1 n n1 TnHnMn2(nN N*) n2 2n n n1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点三 数列与不等式 方法技巧 数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起, 形成了关于证 明不等式、 求不等式中的参数取值范围、 求数列中的最大(小)项、 比较数列中项的大小等问题, 而数列的条件可能是等差数列、等比数列,甚至是一个递推公式等,求解方法既要用到不等 式知识(如比较法、放缩法、基本不等式法等),又要用到数列的基础知识 7已知数列an的前n项和Sn满足Snan(1)n2(nN N*) 3 2 (
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