浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时224.7正弦定理和余弦定理夯基提能作业.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.7 正弦定理和余弦定理4.7 正弦定理和余弦定理 A 组 基础题组A 组 基础题组 1.在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a,b,c 成等差数列,B=30,ABC 的面积为 ,则 3 2 b=( ) A.B.1+ 1 +3 2 3 C.D.2+ 2 +3 2 3 答案 B 由条件知 acsin B= ,得 ac=6,又 a+c=2b,则由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac- 1 2 3 2 ac,即 b2=4b2-12-6,解得 b1=b2=1+.333 2.如图,正三棱锥P-ABC的
2、所有棱长都为4.点D,E,F分别在棱PA,PB,PC上,则满足DE=EF=3,DF=2的DEF 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 令 PD=x,PE=y,PF=z,则当 x=z 时,当 xz 时,有两解. x2+ y2- xy = 9, y2+ z2- zy = 9, z2+ x2- xz = 4, x = z = 2, y = 1 + 6, 3.(2017 浙江镇海中学模拟)在ABC 中,BC=2,AC=2,则 A 的最大值是( )2 A.30B.45C.60D.90 答案 B 由余弦定理,知 cos A=(当且仅当 c=2 时,取等号),故 A 的最大值为 c2+
3、8 - 4 2c 22 1 42(c + 4 c) 2 2 45,故选 B. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.(2017 浙江台州调研)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=1,2b-c=2acos C,sin C=3 ,则ABC 的面积为( ) 3 2 A.B.C.或D.或 3 2 3 4 3 2 3 4 3 3 2 答案 C 由正弦定理知,2sin B-sin C=2sin Acos C,又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以3 cos A=,故 A=30. 3 2 因为 sin C=,所以 C=6
4、0或 C=120. 3 2 当 C=60时,B=90,由=,得 c=,故 S= 11=; a sinA c sinC 3 1 2 3 3 2 当 C=120时,B=30,此时 b=a=1,故 S= 11sin 120=.故选 C. 1 2 3 4 5.(2018 杭州高三期末)设点 P 在ABC 的 BC 边所在的直线上从左到右运动,设ABP 与ACP 的外接圆 面积之比为 ,当点 P 不与 B,C 重合时( ) A. 先变小再变大 B.当 M 为线段 BC 中点时, 最大 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 答案 D 设ABP 与ACP 的外接圆半径分别为 r1,r2,则 2r1=,2r2
5、=,因为 AB sinAPB AC sinAPC APB+APC=180,所以 sinAPB=sinAPC,所以 = ,所以 = =.故选 D. r1 r2 AB AC r21 r22 AB2 AC2 6.已知 a,b,c 分别为ABC 的内角 A,B,C 所对的边,其面积满足 SABC= a2,则 的最大值为( ) 1 4 c b A.-1 B.C.+1 D.+22222 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 C 根据题意,有SABC= a2= bcsin A,应用余弦定理,可得b2+c2-2bccos A=2bcsin A,令t= ,于是 1 4 1 2 c b t2+1-2t
6、cos A=2tsin A.于是 2tsin A+2tcos A=t2+1,所以 2sin=t+ ,从而 t+ 2,解得 t 的2(A + 4) 1 t 1 t 2 最大值为+1.2 7.(2017 浙江测试)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=2,C= ,tan A= ,则 sin 3 3 3 4 A= ,b= . 答案 ;4+ 3 5 3 解析 由 tan A= 得 sin A= ,cos A= ,由正弦定理,得 c=a=5,又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos 3 4 3 5 4 5 sinC sinA Asin C,b=acos
7、 C+ccos A=4+.3 8.(2017 浙江名校协作体)已知在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 为ABC 的面积.若 a=4,b=5,C=2A,则 c= ,S= . 答案 6; 157 4 解析 由题意可知,=, a sinA b sinB b sin( - 3A) b sin3A 所以 asin 3A=bsin A, 即 4(3sin A-4sin3A)=5sin A, 整理得 7=16sin2A, 从而 cos2A= ,即 cos A= . 9 16 3 4 由正弦定理得,c=a=2cos Aa=6. sinC sinA S= bcsin A= 56=.
8、1 2 1 2 7 4 157 4 9.(2018 杭州七校高三联考)设ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边依次为 a、b、c,若ABC 的面积为 S, 且 S=a2-(b-c)2,则= . sinA 1 - cosA 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 4 解析 因为ABC 的面积为 S,且 S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc= bcsin A, 1 2 所以由余弦定理可得-2bccos A+2bc= bcsin A, 1 2 所以 4-4cos A=sin A, 所以=4. sinA 1 - cosA 4 - 4cosA 1 - cosA 10.(2017
9、浙江稽阳联谊学校联考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 csin A=acos 3 C,则 C= ;若 c=,ABC 的面积为,则 a+b= . 31 33 2 答案 ;7 3 解析 由正弦定理可得 sin Csin A=sin Acos C,3 因为 sin A0,所以 tan C=,所以 C= .3 3 由 absin C=,得 ab=6. 1 2 33 2 又由余弦定理得=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,( 31) 2 所以 a+b=7. 11.(2017 浙江台州质量评估)已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
10、且 b=a,cos B=232 cos A,c=+1,则ABC 的面积为 . 3 答案 3 + 1 2 解析 由cos B=cos A,得32 =,3 a2+ c2- b2 2ac 2 b2+ c2- a2 2bc 又 b=a,c=+1,所以上式可化简为 a2=c2=2,23 3 - 1 3 + 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 a=,b=2.2 所以 cos B=,所以 sin B=. a2+ c2- b2 2ac 2 2 1 - cos2B 2 2 故ABC 的面积 S= acsin B= (+1)=. 1 2 1 2 23 2 2 3 + 1 2 12.(2017 浙
11、江宁波期末)已知ABC 的三边分别为 a,b,c,且 a2+c2=b2+ac,则边 b 所对的角 B 为 ; 此时,若 b=2,则的最大值为 . 3ABAC 答案 ;6+4 3 3 解析 由余弦定理得 cos B= ,B= , a2+ c2- b2 2ac 1 2 3 由正弦定理得 c=4sin C. bsinC sinB =bccos A=8sin Ccos A,又 C=-A,ABAC3 2 3 =8cos A=12cos2A+4sin Acos A=6(1+cos 2A)+2sin 2A=6+4sinABAC3( 3 2 cosA + 1 2sinA) 333 .(2A + 3) 00,
12、所以 sin B=, 3 2 因为三角形 ABC 为锐角三角形,所以 B= . 3 (2)已知 b=,则 3=a2+c2-2accos3 3 =a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 所以 a+c=2,3 所以三角形 ABC 的周长为 3.3 15.已知 f(x)=sin x(cos x+sin x)-1,xR. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 f(A)=0,a=1,求 a2+b2+c2的取值范围. 解析 (1)f(x)=sin xcos x+sin2x-1= sin 2x+-1=sin- . 1 2 1 -
13、 cos2x 2 2 2 (2x - 4) 1 2 令 +2k2x- 2k+(kZ), 2 4 3 2 得+kxk+(kZ). 3 8 7 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故函数 f(x)的单调递减区间为(kZ). 3 8 + k, 7 8 + k (2)由 f(A)=0 得 sin=.(2A - 4) 2 2 A,2A- ,(0, 2) 4 (- 4, 3 4) 2A- = , 4 4 A= . 4 易得 bc=sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(-A)=+cos(B-C),又在锐( a sinA) 2
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