浙江省2019高考数学精准提分练解答题通关练5函数与导.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.函数与导数5.函数与导数 1(2018浙江省杭州二中模拟)已知函数f(x)lnx. 2 x2x (1)求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)求证:f(x)0. (1)解 f(x)lnx的定义域是(0,), 2 x2x f(x) , 22x 1 x2x2 1 x x32x23x2 x2x2 所以f(1) ,又f(1)1,则切线方程为x2y30. 1 2 (2)证明 令h(x)x32x23x2, 则h(x)3x24x3, 设h(x)0 的两根为x1,x2,由于x1x210,则h(x)在(0,x2)上是单调递减的,在(x2,)上是单调
2、递增的 而h(0)0, 所以h(x)在(0,)上存在唯一零点x0,且x0(1,2), 所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增 所以f(x)f(x0)lnx0, 2 x2 0x0 因为x0(1,2),lnx00,f(x)0,所以f(x)0. 2 x2 0x0 2已知函数f(x)x2(a2)xalnx(aR R) (1)求函数yf(x)的单调区间; (2)当a1 时,证明:对任意的x0,f(x)exx2x2. (1)解 函数f(x)的定义域是(0,), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 f(x)2x(a2) . a x 2x2 a 2 xa x x12xa x 当a
3、0 时,f(x)0 对任意x(0,)恒成立, 所以函数f(x)在区间(0,)上单调递增 当a0 时,由f(x)0,得x , a 2 由f(x)0,得 0x , a 2 所以函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减 ( a 2,)(0, a 2) (2)证明 当a1 时,f(x)x2xlnx, 要证明f(x)exx2x2, 只需证明 exlnx20,设g(x)exlnx2, 则问题转化为证明对任意的x0,g(x)0, 令g(x)ex 0,得 ex , 1 x 1 x 容易知道该方程有唯一解,不妨设为x0,则x0满足 0 ex, 1 x0 当x变化时,g(x)和g(x)的变化情况如下表: x
4、(0,x0)x0(x0,) g(x)0 g(x)单调递减单调递增 g(x)ming(x0) 0 exlnx02x02, 1 x0 因为x00,且x01, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以g(x)min22220, 1 x0x 0 1 因此不等式得证 3已知函数f(x)x22x2alnx(aR R) (1)若a1,求函数在A(1,1)处的切线方程; (2)若函数yf(x)有两个极值点x1,x2,且x1. 52ln2 4 (1)解 当a1 时,f(x)x22x2lnx, f(x)2x2 ,f(1)1, 1 x 所以函数在A(1,1)处的切线方程y1f(1)(x1), 化简,得xy0
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