线性代数ppt课件.ppt
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1、,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表,定义,即,数aij(i=1, 2; j=1, 2)称为行列式(5)的元素或元。元素aij的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列。位于第i行第j行列的元素称为行列式(4)的(i,j)元。,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列
2、式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则,有,例3,解,方程左端,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,利用了乘法原理(讲课时加以解释).,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列(或排列).,个不同的元素的所有排列的种数,通常用 表示.,由引例,同
3、理,在一个排列 中,若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中,,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数,规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中,,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数, 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,例
4、4 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,(补充例题)例1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列;,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时,排列为偶排列,,当 为奇数时,排列为奇排列.,2 排列具有奇偶性.,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,一、概念的引入,三阶行列式,说明,(1)三阶
5、行列式共有 项,即 项,(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,4、 的符号为,(补充例题)例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2(类似第7页例6) 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一
6、般形式是,所以不为零的项只有,解,(补充例题)例3,(注:第7页例6)同理可得下三角行列式,例4(第7页例5) 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,1 、行列式是一种特定的算式.,2、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,一、对换的定义,定义,在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调,叫做相邻对换,例如,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1 一个排列中的任意两个元素对换,
7、排列改变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,知推论成立.,证明,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,定理2 阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,定理3 阶行列式也可定义为,其中 是两个 级排列, 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,例1 在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以 前边应带正号.,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以 前边应带正号.,1. 一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性,2.
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