质点动力学.ppt
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1、第2章 质点动力学,“潮汐”是海水的一种周期性的升降或涨落运动,是月亮和太阳对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了具有海流潮汐形成的动能-潮汐能。,2.1 牛顿运动定律及其应用 2.2 惯性系及非惯性系 2.3 功和能 2.4 动量定理和动量守恒定律 2.5 质心运动定理 2.6 对心碰撞 2.7 质点的角动量定理和角动量守恒定律,2.1 牛顿运动定律及其应用,主要内容:,1. 牛顿运动定律,2. 力学中常见的几种力,3. 牛顿第二定律的微分形式,4. 质点动力学的两类问题,2.1.1 牛顿运动定律,动力学是研究物体与物体之间的相互作用以及由于这种相互作用而引起的物体运动状态的
2、变化规律,牛顿三个基本运动定律是整个动力学的基础, 惯性 物体的固有属性(惯性定律), 力 使物体改变运动状态的原因,质点处于静止或匀速直线运动状态时:, 静力学基本方程,任何物体都保持静止或作匀速直线运动状态,直到其它物体的作用迫使它改变这种状态为止。,第一定律:,牛顿运动定律中的物体指的是质点或作平动的物体。,牛顿第一定律提出了两个重要概念。,“自由粒子”总保持静止或匀速直线运动状态。,更现代化的提法:,物体受合力作用时,它的动量将发生变化。某时刻物体动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上的合力。即,第二定律:,m为常量时,牛顿第二定律可表示为,质量是物体惯性大小的量度 惯性质量, 对应
3、性 , 矢量性 (矢量叠加定理), 瞬时性 第二定律是一个瞬时关系式,用动量描述运动比用速度更普遍和深刻,第三定律揭示了力的特性,成对性 物体之间的作用是相互的;,一致性 作用力与反作用力性质一致;,同时性 相互作用之间是相互依存,同生同灭。,两个物体间的相互作用力总是等值反向且沿着同一直线,即,第三定律:,注意,其中,力是指物体相互接触产生的,或通过“超距作用”产生的。,作用力等于反作用力,“超距作用”可以理解成力的传递过程不需要时间,或力的传递速度为无限大。,如果力以有限的速度传递,作用力和反作用力就不一定相等了。,4.牛顿三大定律之间的关系,A.牛顿三定律构成一个完整、有机的整体。,第一
4、定律指明影响物体运动状态的内部、外部因素;第二定律,定量给出各影响物体运动因素之间的定量关系,且定量给出物 体惯性的量度;第三定律则为分析改变物体运动状态外部因素 力提供了理论基础。三个定律结合一起,为寻求物体为什 么具有某种运动状态的原因提供了完整且相互联系的理论基石,B.牛顿三定律是互相独立、互不包含的定律 第一定律独立指出牛顿力学体系成立的前提以及影响物体 运动状态的因素;第二定律给出各影响因素之间的定量关系并 指出惯性是由质量量度的;第三定律提供分析影响物体运动状 态外部因素力的理论基础。,1. 力学中的常见力,万有引力:,万有引力的大小,万有引力定律的矢量式,万有引力常量,2.1.2
5、 力学中常见的几种力,任意两个质点之间的相互吸引力,万有引力定律式适用于两个质点;,说明,对于两个质量均匀的球体之间的引力,可以直接用万有 引力定律式计算。,地球对其表面附近物体的万有引力,质量为m的物体所受重力为,重力:,设地球的质量为mE,地球的半径为R,物体的质量为m,重力加速度,弹性力:,因形变而产生的恢复力,支承面的支承力,绳索内的张力,(1) 质量忽略不计的轻绳,绳中各点处的张力相等;,(2) 质量不能忽略的绳索,且处于加速运动状态时,绳中各点处的张力不同。,胡克定律,弹簧的弹性力,摩擦力:,静摩擦力:,(3) 最大静摩擦力,静摩擦力的大小随外力的 变化而变化;,阻碍彼此接触的物体
6、相对运动或相对运动趋势的力,(2) 静摩擦力的方向与接触面 相对滑动趋势的指向相反;,:静摩擦系数,彼此接触的物体有相对运动趋势时,接触面间出现的摩擦力,滑动摩擦力:,(1) 为滑动摩擦系数, 且 ;,(2) 滑动摩擦力的方向总是 与相对运动的方向相反。,干摩擦力随作用力的变化规律,动摩擦,静摩擦,相互接触的物体有相对滑动时,接触处出现的摩擦力,湿摩擦力:,(1)在固体与流体相对运动速率不大时,(2)在固体与流体相对运动速率较大时,(3)湿摩擦力远小于干摩擦力,2. 常见力的分类,接触力与非接触力,主动力与被动力,固体在流体中运动时,沿着接触面出现的摩擦力,2.1.3 牛顿第二定律的微分形式及
7、其应用,1. 牛顿第二定律的微分形式,自然坐标中的分量式,直角坐标系中的分量式,2. 质点动力学的两类问题,两类问题,已知质点的运动方程,或任一时刻的速度或加速度,求 质点所受的力;,微分法,(2) 已知质点受到的力,求质点的运动方程等,包括任意时 刻质点的位置、速度或加速度。,积分法,应用牛顿第二定律时应注意,这是一个瞬时关系式,即等式两边的各物理量都是同一 时刻的物理量;,(2) 是作用在质点上作用力的矢量和;,(3) 在一般情况下力 是一个变力;,(4) 实际应用时常采用其分量式。,2.牛顿定律的应用,(1).牛顿定律应用的主要类型,A.已知受力求物体运动状态 B.已知物体运动状态求物体
8、受力 C.已知物体部分运动状态和部分力求解未知力和运动状态,(2). 牛顿定律应用的解题步骤,A.确定研究对象,分析物体受力 B.建立坐标系,列动力学方程 C.解算及讨论,例:在光滑水平面上固定一竖直圆筒,半径为R,一物体紧靠 内壁在水平面上运动。设摩擦系数为,在t=0时,物体的 速度为v0 求:任意时刻物体的速率和运动的路程,解:以小球为研究对象。考虑到小球作曲线运动,因此,选 择自然坐标是比较方便的。,(1).任意时刻物体的速率 列动力学方程:,法向:,切向:,联立求解方程:,于是:,(2). 物体运动的路程,由,分离变量方法,说明:A.建立坐标系,依求解问题方便而定,一般地,求解曲 线运
9、动问题,建立自然坐标简便 B.法向加速度、切向加速度中,v是速率,不是速度。 C.熟练掌握一些数学技巧,理解数学中求导、积分的物理涵义,例:设颗粒质量为m,受水的浮力为B,颗粒运动时受水的阻 力为:f= -kv,k为常数。 求:颗粒由静止下降过程中的速度随时 间的变化规律及颗粒的极限速度。,解:(1).颗粒由静止下降过程中速度 随时间的变化规律 建立图示坐标系,设t=0时,颗粒速度v0=0,于是:,解之得:,(2).颗粒的极限速度,由速度的解显然看出,当时间增大时:,vT为极限速度,还可以看出,当b=mg时,v=0,这是显然的。,说明:本题的主要目的在于重视数学技巧及解题结果的讨论,分离变量方
10、法,例:如图,已知环套在与竖直轴成的杆上,其质量为m,杆 绕竖直轴以的速度匀速转动,环距离轴心距离为l 求:(1).当环与杆相对静止时,杆对环的静摩擦力 (2).若环与杆的静摩擦系数为s时,,欲保持杆静止,杆的角速度应保持在什么范围?,解:建立图示坐标系,并对环受力分析,设f向上,(1).当杆与环保持相对静止时,解此联立方程组:,(2). 若环与杆的静摩擦系数为s时,欲 保持杆静止,则必须满足的条件是:,讨论:A.当f0,即环有下滑趋势,此时,存在一个最小角速 度min,代入上述结果有:,显然,当,,即,时,,不存在min,,或即便min=0,环也不下滑。,B.当f0,即环有上滑趋势,此时,存
11、在一个最大角速度max, 代入上述结果有:,显然,当,,即,时,,不存在max,,或即便max,环也不上滑。,杆的角速度的范围,说明:A.问题如存在临界条件,可以将未知力用假设的方法表 出,最后根据解得的结果加以讨论。 B.临界状况常常是摩擦力导致的,讨论时常用到条件所需 摩擦力必须小于物体能够提供的摩擦力,这一般为自然条件 C.物理题目的结果常常需要物理模型的讨论,这点很重要。,例:一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮,绳的一端挂有质量 为m1的物体,绳的另一端穿过一质量为m2的环。 求:当环相对于绳以恒定的加速度a0沿绳向下滑动时,物体和 环相对于地面的加速度各是多少?环与绳间的摩擦力多大?,
12、解:规定(ox 轴)向上为各量的正方向。 选取m1、m2作研究对象。如下页图所示,对选取对象作受力 分析。,解得,T 为摩擦力,例:一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速地前进,木箱与地 面的摩擦系数=0.6,肩上绳的支持点距地面高度h=1.5m,问绳 长L为多长时最省力?,解:应先找出力与某个变量()的关系,再求极值,由图可知:L=h/sin =2.92m时,最省力,竖直方向:,解得,F有极小值的充要条件是,于是得到:,(1) 劈m1相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度; (2) 欲使木块与劈之间无相对滑动,应该沿水平方向给劈多 大的作用力?,将一质量为m1的三角形劈,放在光滑的水平桌面上
13、,另 一质量为m2的立方体木块,沿三角形劈的光滑斜面自由下滑,如图所示。,例,解,求,建立如图的坐标系,(1) m1 、m2 受力情况如图,设劈相对地面的加速度为a1,木块相对劈的加速度为a2,方向如图,对木块m2有,且,对劈m1有,(1),(2),(3),(4),(5),解以上方程组,可得,建立如图的坐标系,(2) 设沿水平方向给劈施加力F,且木块与劈以相同的加速 度a沿水平方向运动,方向如图所示。,对木块m2有,对劈m1有,(1),(2),(3),(4),(5),且,解以上方程组,可得在劈上所加的水平力为,劈和木块共同运动的加速度为,水平力F 和加速度a 的方向均为水平向左。,应用牛顿运动
14、定律求解质点动力学问题的一般步骤,(1) 选取研究对象,隔离物体;,(2) 分析受力,画出受力图;,(3) 选取坐标系;,(4) 列牛顿运动微分方程求解(通常取分量式);,(5) 讨论结果的物理意义,判断其是否合理和正确。,试问竖直上抛的物体最小应具有多大的初速度v0才不再回到地球上来?不计空气阻力及其它作用力。,设上抛物体质量为m,地球质量为mE,半径为R,又,例,解,受力如图,建立如图所示坐标。,地球对物体的万有引力为,根据质点运动微分方程,有,则,变量代换,得,所以,分离变量,得,初始条件为,由此解得,积分,有,即,所以,(第二宇宙速度),如图所示,质量为m的小球与劲度系数为k的轻弹簧构
15、成弹簧振子系统。开始时,弹簧处于原长,小球静止,现以恒力F向右拉小球,设小球与水平面间的摩擦系数为。,受力如图所示,小球向右运动的最大距离。,例,解,求,列运动微分方程为,(1),(2),以O点为原点建立坐标系,(2)式代入(1)式,变量代换,有,初始条件,分离变量,得,积分,小球向右运动到最大距离时,即,由此可得,质量为m的小球最初位于半径为R的光滑圆弧面的顶端A点,然后小球沿光滑圆弧面从静止开始下滑。,例,解,求,小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用力。,受力如图所示,建立自然坐标,列方程,变量代换,分离变量,由(2)式有,利用初始条件,积分,即,由此可得,有一质量为m的均匀细棒长为l,
16、将其一端固定并作为转轴,另一端绕转轴在光滑水平面上以匀角速度旋转。,选微元dx,距离固定端为l/2、l/4处的张力。,例,解,求,建立如图自然坐标,列方程,,对其受力分析,如图,即,考虑到 x = l 时,FT(l) = 0,则代入(1)式,则,距固定端x处棒中的张力为,距固定端为l/2处的张力,距固定端为l/4处的张力,2.2 惯性系与非惯性系,主要内容:,1. 惯性参考系,2. 牛顿运动定律的适用范围,3. 力学相对性原理,2.2.1 惯性系和非惯性系,对地参考系,牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立!,而,对车厢参考系,对地参考系,对车厢参考系,牛顿定律适用的参考系,简称惯性系。,
17、惯性参考系:,反之,称为非惯性系。,太阳参考系是一个实验精度相当高的惯性系。,几种实用的惯性系,一个参考系是否是惯性系,要依赖观测和实验的结果来 判断。,地心参考系也是一个实验精度很高的惯性系。,地面参考系是一个近似程度很高的惯性系。,相对于惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系,作变 速运动的参考系为非惯性系。,牛顿定律适用的参考系。,惯性系:,2.2.2 牛顿运动定律的适用范围,牛顿运动定律中的物体是指质点; 牛顿运动定律适用于惯性系; 牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。,2.2.3 力学相对性原理,船走吗?,不可能利用在惯性系内部进 行的任何力学实验来确定该系作匀速直线运动的速度;,
18、在一切惯性系中,力学定律具有完全相同的表达形式;,物理量可以是相对的,但不同惯性系中力学定律的表达式则是绝对的。,例:如图,斜面足够长,斜面B的质量为M,物体A的质量为 m,A与B之间的摩擦系数为,斜面与地面之间无摩擦。 求:当物体 A在斜面上运行l时,斜面所发生的位移,解:建立图示坐标系,给B施加反向加速度aB使之成为惯性系 同时,设A相对于B的加速度为aAB,于是,动力学方程为,对B:,对A:,解此方程组得,非惯性力,A物体在斜面上运行l:,B物体对应的位移:,联立求解可得解(略)。,2.3 功与能,主要内容:,1. 功,2. 动能定理,3. 保守力的功 势能,4. 功能原理与机械能守恒定
19、律,2.3.1 功,恒力,,路程s,位移,功,功是标量,功有正功、负功之分,,功的正负功取决于。,1.恒力的功,,夹角,力对物体作负功,也可以说物体反抗外力作功。,注意,2. 变力的功,元功等于力与元位移的标积,或,由a点移动到b点,总功,取元位移,,在 范围内,作用力 可认为是恒力。,在任一元位移 上,力 所作的元功,功是过程量,是力的一种空间累积效应,(3) 功在数值上等于示功图曲线下 的面积,讨论,(1) 在直角坐标系中,(2) 合力 的功, 等于各分力沿同一路径所作功的代数和,示功图,(4) 功率,摆球受力分析,列方程,元功,例,解,有一长为l、质量为m的单摆,最初处于铅直位置且静止。
20、现用一水平力 作用于小球上,使单摆非常缓慢的上升(即上升过程中每一位置近似平衡)。用摆球与铅直位置的夹角q表示单摆的位置。,求,当由0增大到0的过程中,此水平力 所作的功?,,建立坐标系如图。,得,总功,设作用于质量m = 2kg的物体上的力为F = 6t,在该力作用下物体由静止出发,沿力的作用方向作直线运动。,在前2s时间内,这个力所作的功。,例,解,求,列方程,分离变量,并考虑初始条件,积分,在前2s力所作的功为,一条长为l、质量为m的均质柔绳AB,A端挂在天花板的钩上,自然下垂。现将B端沿铅垂方向提高到与A端同一高度处。,取绳自然下垂时B端位置为坐标原点,铅垂向上为Oy轴正方向。,设B
21、端提升过程中的某一时刻坐标为y,该过程中重力所作的功。,例,解,求,取重力元位移dy,绳提起部分所受重力为,,则重力在元位移上的元功为,该过程中重力所作的总功为,2.2.3 动能定理,(动能定理的微分形式),力 在元位移 上所作的元功,Ft为 切向分力,1. 质点的动能定理,(动能定理),讨论,外力的功是物体动能变化的量度;,外力可以通过作功改变其物体的动能;,动能 是一个由物体的运动状态所决定的状态量;,动能定理只适用于惯性系,具有惯性系中的形式不变性。,合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。,(动能定理),质量为m的小球,系在长为l的细绳下端,绳的上端固定在天花板上,构成一单摆
22、,如图。开始时,把绳子拉到与铅垂线成q0角处,然后放手使小球沿圆弧下落。,受力如图,,例,解,求,绳与铅直线成角时小球的速率。,取元位移,由质点的动能定理得,其中,张力的功,重力的功,按照运动学中对角位移正负的规定,这里dq 为负,则,且初始条件为,故得,有,质量为m的质点,系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作半径为R的圆周运动。当它运动一周后,由初速vo减小为vo/2。,质点在运动过程中,受重力、支承力和摩擦力,但只有摩擦力作功,(2) 因摩擦力,方向与运动方向相反,可得,(1) 摩擦力所作的功;(2) 滑动摩擦系数;(3) 静止前质点运动了多少圈?,例,解,求,(1) 根据质点的动能定理
23、,摩擦力的功,(3) 设静止前质点运动了n圈,由质点的动能定理有,可得,(圈),内力,外力,根据质点的动能定理,对m1:,对m2:,两式相加,2. 质点系的动能定理,推广到n个质点的质点系,(质点系的动能定理),注意,质点系的内力和外力的区分。,系统内力的功也可以改变系统的动能。,所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量,应用动能定理求解力学问题的一般步骤,确定研究对象; 质点或质点系。 (2) 分析研究对象受力情况和各力的作功情况; 质点系必须区分外力和内力。,(3) 选定研究过程; 要确定初、末状态,及其对应的动能。 (4) 列方程; 根据动能定理列出方程,并列出必要的辅助性方
24、程。 (5) 解方程,求出结果。并对结果进行必要的讨论。,长为l的均质绳索,部分置于水平面上,另一部分自然下垂,如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为ms,滑动摩擦系数为mk。,以绳索的水平部分为研究对象,设绳索每单位长度的质量为,设Oy轴向下,绳索下垂部分的端点坐标为y。,(1) 满足什么条件时,绳索将开始滑动? (2) 若下垂长度为b时,绳索自静止开始滑动,当绳索末端刚刚滑离桌面时,其速度等于多少?,例,解,求,当 时,水平部分受到的下垂部分的拉力为,此时达到最大静摩擦力,则有,即,(2) 以整个绳索为研究对象,绳索在运动过程中各部分之间 相互作用的内力的功之和为零。,当 ,拉力大于最
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