《建筑力学》15章、16章力矩分配法、影响线.ppt
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1、1,第十五章 力矩分配法,2,学习内容,力矩分配法的概念,用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。,转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。,3,学习目的和要求,力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程,直接得到杆端弯矩。运算简单,方法机械,便于掌握。 本章的基本要求: 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。,4,第十五章 力矩分配法,引 言,151 力矩分配法的基本原理,152用力矩分配法计算连续梁和无 侧移刚架,5,引 言,计算超静定结构,不论采用力法或位移法,均要组成 和解算典型方程,当未知量较多时,其工作量非常大。为 了寻求较简捷
2、的计算方法,自本世纪三十年代以来,又陆 续出现了各种渐进法,力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是,避免了组成和解算典型方程, 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩,其结果的精度随计 算轮次的增加而提高,最后收敛于精确解。,这些方法的概念生动形象,每轮计算的程序均相同, 易于掌握,适合手算,并可不经过计算结点位移而直接求 得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。,返 回,6,151 力矩分配法的基本原理,力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出,这一方法对连 续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。,1.劲度系数、传递系数,劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下:当杆件AB的A端转 动单位角
3、时,A端(又称近端)的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数,用SAB 表示。它标志着该杆端抵抗转动能 力的大小,故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承 情况有关,由转角位移方程知 远端固定时:,A,B,EI,L,1,MAB =4i,MBA,A,B,EI,1,MAB =3i,SAB=MAB=4i,远端铰支时:,SAB=MAB=3i,SAB=3i,A,B,1,远端滑动支撑时:,EI,MAB =i,MBA,SAB=MAB=i,SAB=i,远端自由时:,A,B,1,MAB =o,EI,SAB=MAB=0,SAB=0,SAB=4i,返 回,7,(2) 传递系数Cij,A,B,EI,L,1,MAB =
4、4i,A,B,EI,1,MAB =3i,SAB=MAB=4i,SAB=MAB=3i,A,B,1,EI,MAB =i,MBA =-i,SAB=MAB=i,A,B,1,MAB,EI,SAB=MAB=0,当近端A转动时,另一端B(远端) 也产生一定的弯矩,这好比是近端 的弯矩按一定比例传到远端一样, 故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由 A端向B端的传递系数,用CAB表示。 即,或 MBA=CABMAB,远端固定时:,CAB=0.5,远端铰支时:,CAB=0,远端滑动支撑:,CAB=1,由表右图可得,MBA =2i,返 回,8,MB=0,MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和,它是未被平衡的各杆固端弯矩
5、的差值,故称为B结点上的不平衡力矩,以顺时针方向为正。,2力矩分配法的基本原理 以图15-1(a)为例进行说明: (1)设想在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图15-1(b)所示。此时只有AB跨受荷载作用产生变形,相应的杆端弯矩MFAB、 MFAB即为固端弯矩、,附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得:,9,10,(2) 原连续梁B结点并无附加刚臂,取消刚臂的作用让B结点转动, 就相当于在B结点加上一个反向的不平衡力矩如图15-3(c)所示。这时汇交于B结点的各杆端产生的弯矩 , ,即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩MC,它是由各近端的分配弯矩乘以传递系数得到的。 (3)将
6、图15-3(b)、(c)两种情况叠加,就得到图9-3(a)所示连续梁的受力及变形。如杆端弯矩 以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉,11,附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB),求出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC,叠加各杆端弯矩即得原连续梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。用力矩分配法作题时,不必绘图15-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。,例
7、15-1 用力矩分配法计算图所示连续梁的M图。EI=常数,12,1)锁住结点,求固端弯矩,60,60,30,2)去掉约束,相当于 在结点加上负的不平衡力矩,并将它分给各个杆端及传递到远端。,3)叠加1)、2)得到最后杆端弯矩。 计算过程可列表进行,不平衡力矩= 固端弯矩之和,节点不平衡力 矩要变号分配.,13,M图(kN.m),14,例 152,试用力矩分配法作刚架的弯矩图。,解:,(1)计算各杆端分配系数,(2)计算固端弯矩,(3)进行力矩的分配和传递,计算过程如表15-2,(4)计算杆端最后弯矩并作矩图(略) 。,15,表15-2,16,注意:,结点集中力偶m顺时针为正,产生正的分配弯矩。
8、 分配系数 1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率,它等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度之和的比值,即:1jS1j/S1j ,且 1j1 (3) 只有分配弯矩才能向远端传递。 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩,传递弯矩是杆端转动时产生的远端弯矩。,17,152 用力矩分配法计算连续梁,对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称 无侧移)的结构,只需依次对各结点使用上节所述 方法便可求解。作法是:先将所有结点固定,计 算各杆固端弯矩;然后将各结点轮流地放松,即 每次只放松一个结点,其它结点仍暂时固定,这 样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递, 直到传递弯矩小到可略去时
9、为止,以这样的逐次 渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。,返 回,18,以图15-7所示三跨等截面连续梁为例,在荷载作用下,两个中间结点B、C将发生转角,设想用附加刚臂使结点B和C不能转动(以下称为固定结点),得出由三根单跨超静定梁组成的基本结构,并可求得各杆的固端弯矩如下,图15-7,19,B、两结点处的不平衡,B、两结点不平衡力矩分别为,为消去这两个不平衡力矩,设先放松结点B,而结点C仍然固定。 此时ABC部分可利用上节所述力矩分配和传递的办法进行计算如下,完成了结点B的第一次分配和传递,20,通过上述运算,结点B暂时平衡,在分配弯矩值下面绘一横线表示。这时,结点C仍然存在不平衡力矩,它
10、的数值等于原来的不平衡矩再加上由于放松结点B而传来的传递弯矩,放结点C上的不平衡力矩为。为消去这一不平衡力矩,需放松结点C,但同时应将结点B重新固定,这样才能在BCD部分进行力矩分配和传递。,结点C已暂时平衡,结点B上又有了新的不平衡力矩,其数值为52.5kNm,,按照相同的步骤,依次继续在结点B和结点C消去不平衡力矩,使不平衡力 矩绝对值愈来愈小。经过若干轮以后,传递弯矩小到可以略去不计时,便可 使计算在分配后停止不再传递;此时,结构就非常接近于真实的平衡状态,如 表15-3,21,表15-3杆端弯矩计算,22,力矩分配法的计算步骤可归纳如下: (1) 在各结点上按各杆端的转动刚度计算其分配
11、系数并确定相应传递系数。 (2) 计算各杆的固端弯矩和相应各结点的不平衡力矩。 (3) 依次放松各结点以使弯矩平衡。每平衡一个结点时,按分配系数将不平衡力矩反号分配于各杆近端,然后将各杆端所得的分配弯矩乘以传递系数传递至远端。将此步骤重复运用至杆端的传递弯杆小到可以略去而不需传递时为止。,23,例153 用力矩分配法计算图示连续梁。,0,1,2,3,25kN/m,400kN,25kN/m,解:,固定1 2 结点。列表计 算如下:,12m,6m,6m,12m,分配系数,10=,12=,21=,23=,固端弯矩MF,-300,+300,-600,+600,-300,-450,0,+150,结点1分
12、配传递,+150,+150,+75,+75,结点2分配传递,-129,-96,-64,0,结点1分配传递,+32,+32,+16,+16,结点2分配传递,-9,-7,-5,0,0.5,0.5,0.571,0.429,结点1分配传递,+2,+3,+1,+1,结点2分配传递,-1,0,最后弯矩M,-208,+484,-484,+553,-553,0,EI,EI,EI,+225,-225,返 回,24,例15-4 用力矩分配法计算图示连续梁。,1.5kN/m,8kN,4kN,5m,8m,3m,5m,5m,1.5kN/m,8kN,4kN,4kNm,0.375,0.625,0.5,0.5,0.375,0
13、.625,MF,0,+4.69,-8,+8,-9.38,+5.62,+2,+4,分 配 及 传 递,-4.76,-2.86,-2.38,0,A,B,C,D,E,F,I,2I,2I,I,0.8i,i,i,0.8i,1m,A,B,C,D,E,+1.24,+2.07,0,+1.03,+1.37,+1.36,+0.68,+0.68,-0.43,-0.25,-0.21,-0.25,-0.43,-0.21,-7.62,+3.31,+2.73,+0.42,+0.21,+0.21,+0.11,+0.11,-0.04,-0.07,-0.03,-0.07,-0.04,-0.03,+0.03,+0.03,+0.02
14、,+0.02,-0.01,-0.01,-0.01,-0.01,M,0,+5.63,-5.63,+10.40,-10.40,+1.16,-1.16,+4,返 回,25,1.5kN/m,8kN,4kN,A,B,C,D,E,F,I,2I,2I,I,M,0,+5.63,-5.63,+10.40,-10.40,+1.16,-1.16,+4,5.63,4.69,1.88,12,1.16,15,0,4,8.06,M图,0,10.40,3.98,返 回,26,例15-5用力矩分配法求图所示刚架的弯矩图,图15-10,解:(1)转动刚度,,,,,,,(2)分配系数,结点C:,结点C,点B,(3)紧锁结点B、C求
15、固端弯矩,27,结点B的约束力矩为:,(4)力矩分配计算先放松结点B,为提高结点B各杆端弯矩计算幅度在两轮计算后再在结点D作一次力矩分配。计算过程见图1,(5)画弯矩固如图2所,图1,图2,28,注意: 多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。 首先从结点不平衡力矩较大的结点开始,以加速收敛 不能同时放松相邻的结点(因为两相邻结点同时放松时,它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来);但是,可以同时放松所有不相邻的结点,这样可以加速收敛。 每次要将结点不平衡力矩变号分配。 结点i的不平衡力矩Mi 总等于附加刚臂上的约束力矩,可由结点平衡来求。 在第一轮第一个分配结点:Mi=MFm (结点力偶荷载顺
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