二章3,4节appt课件.ppt
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1、2.3 随机变量的分布函数,2.3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量,对任意实数x,事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x),即 F(x)P Xx.,对于任意的实数a,b a b.,F(a)P Xa,F(b)P Xb,F(b)-F(a)P ,aXb,F(a) F(b),?,?,二、分布函数的性质,1、单调不减性:若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性:对任意实数x,0F(x)1,且,3、右连续性:对任意实数x,,反之,具有上述三个性质的实函数,必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。,例1 设随机变量X具
2、分布律如右表,解,试求出X的分布函数。,例2 向0,1区间随机抛一质点,以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比,求X的分布函数.,当x1时,F(x)=1,当0x1时,特别,F(1)=P0X1=k=1,解: F(x)=PXx,解:,例3、一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量 的分布函数。,用分布函数描述随机变量不如分布律直观, 对非离散型随机变量,是否有更直观的描述方法?,?,a,b,1. 定义 对于随机变量X的分布函数F(x),若存在非负函数f(x),(-x+
3、),使得对任意实数x,都有,2.4 连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度,则称X为连续型随机变量, f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数. 常记为 X f(x) , (-x+),密度函数的几何意义为,2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0,(-x); (2)归一性,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质;,例,设随机变量X的概率密度为,求常数a.,答:,解:,思考:,(3) 若x是f(x)的连续点,则,例,设随机变量X的分布函数为 求f(x),思考:,?,(4) 对任意实数a,若X f(x), (-x),则PX=a0。 于是,注: 事件X=a并非不可能事件,但是在X
4、是连续型随机变量时, PX=a=0,由上述性质可知,对于连续型随机变量,我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义; 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,此公式非常重要!,例1.已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求PX(0.5,1.5),解:,PX(0.5,1.5),例2,设 X 是连续型随机变量,其密度函数为,解: 由密度函数的性质,例 3,某电子元件的寿命 X(单位:小时)是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,解: 设 A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,例 3(续),检
5、验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元 件数,,故所求概率为,二、几个常用的连续型分布,1. 均匀分布 若Xf(x),则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XU(a, b),对任意实数c, d (acdb),都有,例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率.,15,45,解:设A乘客候车时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达,则XU(0,60),例 5,例 5(续),2. 指数分布 若 X,则称X服从参数
6、为 0的指数分布。 其分布函数为,特点:指数分布的无记忆性 对任意的s , t 0.有PXs+t|Xs=PXt,证明:左边=PXs+t|Xs =P(Xs+t)(Xs)/PXs =PXs+t/PXs =1-F(s+t)/1-F(s),=1-F(t)=PXt,例 6,例6(续),令:B= 等待时间为1020分钟 ,例7 .电子元件的寿命X(年)服从参数为1/3的指数分布, (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用两年的概率为多少?,解:,例8.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T,设0,t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布,求T的概率密度。
7、,解:,当t 0时,,当t 0时,,=1- 在t时刻之前无汽车过桥,于是,正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上 研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3. 正态分布,A,B,A,B间真实距离为,测量值为X。X的概率密度应该是什么形态?,?,测量值X是一个随即变量,在真实值的周围随机取值 。,其中 为实数, 0 ,则称r. v.X服从参数为 ,的正态分布,记为N(, 2),可表为XN(, 2).,定义:若连续型随机变量,(1) 单峰对称 密度曲线关于 直线x=对称; .,正态分布的特性:,f()maxf(x),(2) 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦,越小,曲线越
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