二章节变分法及其在最优控制中应用.ppt
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1、第二章 变分法及其在最优控制中的应用,在动态最优控制中,由于目标函数是一个泛函数,因此求解动态最优控制可归结为泛函极值问题。,本章主要介绍变分的基本原理及如何利用变分法求解最优控制问题。,如果有一类函数 ,对每一个函数 都有一个值 与之对 应,则J称为函数 的泛函数,简称泛函。记做 ,泛函 数实际为函数的函数。 即:泛函的值是函数的选取而定 ,函数 的值是由自变量的选取而定。,变分法的基本概念,211泛函的概念,1、 泛函的定义:,特点:函数给定后,泛函J相对于一个确定的值, 如: 不是泛函,因为 给定时 , 并不等于某个固定值,而是 的函数。泛函数的定义可推广到含有几个函数的情况, 如:最优
2、控制常用指标:,是泛函, 是 的函数, 是 的函数。在泛函 中, 称为泛函的宗量,例如: 是泛函数 的值由 的选取而定,若 则,若 则,泛函极值是一个相对概念 , 实际为相对于 的一个微 小变化,变化形式有上述两种 :,2、 泛函的极值的定义: 若 泛函 在任何一条与 曲线接近的曲线上的值均不小于 ,即: ,则称泛函 在曲线上达到极小值。,(1) 即 与 相差的绝对值,对定义域中的一切 均很小, 则称 与 接近 零阶接近度,由此推出的 为弱相对极小。,(2) 则称 与 相差微,小或接近 一阶接近度, 为强相对极小。 具有一阶接近度必然具有零阶接近度。,3、 泛函的变分的定义: 求泛函的极值问题
3、称为变分。 中, 称为泛函 的宗量(泛函的变量)。,宗量的变分:若 相应的最优函数为 , 则 可表示为: :称为y(x)的变分, 也为独立自变量x的函数。,:AB间的距离函数,B,A,(1) 泛函 变分 可定义为:,设 其中 , 均为 的函数,例如: 最短距离问题A、B间的距离 如图:,:AB间的弧长函数,泛函 的变分 可通过增量形式求取:,泛函增量为:,式中: 是 的线性连续泛函,是关于 的高阶无穷小,定义 :即泛函 的变分为其相应增量 的 线性函数,且称泛函 是可微的 注意: 泛函 的变分是唯一的。,即: =,=,则可以证明: =,例: 求泛函 的变分,解 : =,=,=,为 的线性主部
4、,因此有:,当 : 时,当 : 时,(1,1),(1,0.2),(1,0.1), 如果泛函 是可微的,则泛函的变分为:,证明从略,见P 页 证明进一步,多元函数的变分为: 即:,变量,则,(定理 1 引出结论),若,证明见书。,则有:, :若可微泛函 在 上达到极值,则在 上的变分等于0,即 证明较简单,见书。,变分规则: ,泛函的极值的必要条件欧拉方程(以单变量为例,可推广),已知。,终端状态满足:,目标函数:,问题:求 ,使被控过程状态由 转移到 ,并使目标函数 最小。,.,无约束条件的最优化问题 目的:求出最优控制 ,使 为最小。 方法:变分法,设被控过程状态方程为:,解:把式化为u的显
5、函数形式,即 代入式,则有:,事实上求解 ,就化为求 ,使,设 为容许轨线, 为最优轨线,,即 邻域中的一条容许轨线,则有:,.,将,式代入式,并将 在最优点 附近展开成泰勒级数,则有:,=,=,为 和 的高阶无穷小。,的增量为:,由变分的定义可知: 的变分 为:,泛函取极值的必要条件:,即:,式就变为:,若 独立,可任意取值,若使 ,必有:,欧拉方程 ,横截条件,2欧拉方程的全导数形式,基础知识:设函数,则:,在式中, 为全导数,令,=,=,其中:,所以 式的全导数欧拉方程形式为:,欧拉方程的全导数形式,横截条件,又称为边界条件,3横截条件的分析, , 都固定,图a,即,即, 固定, 自由
6、图 b,即,因为 自由 所以,终端仅在 上滑动,求出最优,许多状态轨线, 自由, 固定 ,图c 则横截条件变为:,终端仅在 上滑动, 端点变动的情况:(3.2.2),1自由端点,无约束条件的变分,如图:,始点 在曲线 上变动,终点 在曲线 上变动,两个端点都是自由的,设泛函,为使 的求取 的必要条件 :,当函数由 时,则:,= ,注: = +, = ,.,对 函数 在 处进行泰勒展开,则:,积分中值定理,acb,所以,利用分步积分,由图示:由于 是 的微小变化 所以有下列关系:,及:,见前面图示,2.端点变动时的泛函极值 对于起始端点的变化,因为满足,则有:,同理:,代入可得:,由泛函取极值的
7、必要条件: 则有:,欧拉方程:,横截条件:,横截条件的分析: 1)若两个端点均为自由,横截条件为,.,3)始点自由,终端固定,则有:,4)如果两个端点分别在直线 及 上变化,则有:,因为,同于前面欧拉方程以及横截条件的分析,2) 若始端点固定 端点自由 ,则有:,例1:求固定点A(0,1)到给定直线 的弧长最短的曲线方程,解:弧长公式A到直线为:,2,A,0 1 2 t,所以 属于始端固定,终端自由的情况,根据欧拉方程:,经积分,所以,,则,由终端条件:,则:,解得:,所以,可以证明, 与 正交,且,-横截条件,3.2.2 目标泛函取极值的充分条件自学 欧拉方程是求解泛函极值的必要条件,而非充
8、分条件,J取极大 值还是极小值,还需进一步加以判断.,结论:,取极小值, 阵为正定或半正定,取极大值, 阵为负定或半负定,3.2.3欧拉方程和横截条件的向量形式(自学),目标函数Jx=,标量函数 标量函数,已知, 已知, 未定, 受终端目标集 约束,上述单变量系统的情况可推广到状态变量为向量的情况,求: ,使 最小,采用和单变量系统相同的分析方法,可得出结论:,欧拉方程,横截条件具体问题具体分析,横截条件,具有等式约束条件的最优化问题,古典变分法在最优控制中的应用,解决的问题:等式约束(如状态方程)下,指标泛函取极值的最优化问题 欧拉方程的局限性:J中的u必须首先由状态方程化为x 以及 的显函
9、数,有时处理比较困难.,解决办法:拉格朗日乘子法, 对于受控系统 ,由初始状态 出发,转移到末端状态 ,求容许控制 , 使得目标函数 最小,二 处理方法,1) 将状态方程改写为: 等式约束,一 问题的提出,2)引入待定的拉格朗日乘子 ,将等式约束与原性能指标结 合成一个新的泛函,可以证明 与 相对于最优控制 等价,3)问题归结为求泛函 的无约束极值,令,H:标量函数 函数,则 ,以下可根据不同的初,末状态,确定求解最优控制的必要条件。,三 数学补充:多变量函数的微分运算 在求解最优控制时,常遇到许多微分运算问题: 如:时变向量或矩阵对时间求导 多变量标量函数对向量或矩阵求导 多变量向量函数对向
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- 章节 变分法 及其 最优 控制 应用
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