二线变换的简单质.ppt
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1、二、 线性变换的简单性质,1 酉空间的介绍,二、酉空间中的重要结论,一、酉空间定义,一、酉空间定义,欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的.,酉空间实际就是复数域上的欧氏空间.,定义 1 设 V 是复数域上的线性空间,在 V,上定义了一个二元复函数,称为内积,记作 ( , ),它具有以下性质:,共轭复数;,2) (k , ) = k( , ) ;,3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ;,4) ( , ) 是非负实数,且 ( , ) =0 当且仅当, =0 .,这里 , , 是 V 中任意的向量,k 为任意复数,,这样的线性空间称为酉空间.,例1 在线性空间 Cn 中,对向量,
2、 = (a1 , a2 , , an) , = (b1 , b2 , , bn) ,定义内积为,显然,内积 (1) 满足定义 15 中的条件.,这样 Cn 就,成为一个酉空间.,例2 用Ca,b表示区间a,b上所有连续复值函数组成的线性空间,规定,是Ca,b上的一个内积,此时,Ca,b成为一个酉空间.,容易验证,,二、酉空间中的重要结论,由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论,因此这儿只简单地列出重要的,结论,而不详细论证.,首先由内积的定义可得到,2) ( , + ) = ( , ) + ( , ) .,与实内积空间类似,酉空间V 中由于有了内积的,概念,从而就有长度、角度
3、、正交、距离等度量概念.,定义2 非负实数,叫做向量 的长度,,记为 | .,显然|0|=0,0时, |0.容易证明:,定理1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立,,即对任意的向量 , 有,| ( , ) | | | | |,,当且仅当 , 线性相关时,等号成立.,注意:,酉空间中的内积 ( , ) 一般是复数,,故向量之间不易定义夹角,但我们仍引入,定义3 酉空间V中,两个非零, 的夹角,规定为,于是,(2),从(7)式得出,,定义4 向量 , ,当 ( , ) = 0 时称为正交或互,相垂直.,与实内积空间一样,我们可以证明在酉空间中,,有三角形不等式和勾股定理.我们可以定义两个向,量,
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